zahlenfolge

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gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »
zahlenfolge
hi

ich habe hier mal eine frage

mein lehrer hat so gefragt

ZU JEDER ZAHLEN FOLGE GIBT ES EINE REKURSIVE BILDUNGSVORSCHRIFT

er sagt NEIN .. dann habe ich aber geschrieben dass es zu jeder eine explizite gibt.

ich verstehe das nicht
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich auch nicht, denn: Was alles fällt bei euch unter den Begriff "rekursive Bildungsvorschrift?

oder oder oder ... oder ... oder ...
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

nein wir haben das ganz simpel gemacht ohne so eine formel.

zum bgeispiel rekursive war an=...(...)n

da war das mit d.. so eine formel eben :-(

aber gibt es jetzt für jede zahlenfolge eine oder nicht?

ich verstehe nicht, wenn ein lehrer immer uns sowas aufstellen lässt, dass er dann so eine frage nimmt.. obwohl wir nie eine hatte, wos nicht geht.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt für jede Zahlenfolge eine Vorschrift, denn egal wie viele Zahlen du vorgibst - man kann sich immer eine Vorschrift so zurecht legen, dass die Zahlen in der richtigen Reihenfolge in der Folge auftauchen
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt, wenn eine endliche Anzahl an Folgegliedern vorgegeben ist, wenn es aber um eine eigentliche Folge und somit um unendlich viele Zahlen gibt, ist das etwas anderes. Für die Fibonacci-Folge z.B. gibt es meines Wissens keine explizite Bildungsvorschrift.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

ist das explizit genug:
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Jedenfalls gibt es eine rekursive Bildungsvorschrift der Art nicht für jede Folge, z.B. nicht für die Fibonacci-Folge:

Denn mit müsste dann sowohl als auch gelten, Widerspruch.
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht. Wir hatten zum Beispiel Zahlenfolgen wie (an)=(3,6,9,12..blabla)

Dazu sollten wir rekursaiv und explizit bilden.. warum gibts hier wohl was nicht?
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist nicht sehr präzise gestellt. So gesehen scheitert das bereits aus Mächtigkeitsgründen. Es gibt überabzählbar viele Folgen, aber nur abzählbar viele Bildungsvorschriften. Vielleicht ist ja folgender Artikel interessant: http://de.wikipedia.org/wiki/My-Rekursion.
Wenn es um berechenbare Folgen geht, dann gibt es doch zu jeder solchen Folge eine rekursive Bildungsvorschrift.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@klingklang

Also gut, ich komme nochmal auf meinen ersten Beitrag zurück, mit zwei Beispielen:

(1) arithmetische Folgen: Rekursion

Hier gibt es offensichtlich ein mit , nämlich .

(2) geometrische Folgen: Rekursion

Hier gibt es ebenfalls ein mit , nämlich .


Aber für allgemeine Folgen klappt das eben nicht, wie mein Beispiel mit der Fibonacci-Folge zeigt.


So, das war jetzt nur , eine sehr eingeschränkte Betrachtungsweise, was "rekursive Bildungsvorschrift" betrifft. Du solltest also schon etwas genauer werden, sonst können wir dir wirklich nicht helfen.
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
@klingklang

Also gut, ich komme nochmal auf meinen ersten Beitrag zurück, mit zwei Beispielen:

(1) arithmetische Folgen: Rekursion

Hier gibt es offensichtlich ein mit , nämlich .

(2) geometrische Folgen: Rekursion

Hier gibt es ebenfalls ein mit , nämlich .


Aber für allgemeine Folgen klappt das eben nicht, wie mein Beispiel mit der Fibonacci-Folge zeigt.


So, das war jetzt nur , eine sehr eingeschränkte Betrachtungsweise, was "rekursive Bildungsvorschrift" betrifft. Du solltest also schon etwas genauer werden, sonst können wir dir wirklich nicht helfen.


hallo, nein wir hatten erst die geometriefolgen nach dem test.

und so eine formel mit dem war das wohl.

verstehe ich das jetzt richtig, dass es nicht für jedes eins gibt oder wie?

ich verstehe das mit dem abzählbaren nicht.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss das mit dem Abzählbaren und gib besser eine exakte Definition an, was eine rekursive Vorschrift ist.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will die mathematisch interessante Diskussion nur ungern stören, aber ich denke auf Schulniveau hat man sich das so gedacht:

Folge:
(1,3,5,7,...)

Dann soll man rekursiv und explizit angeben was am einleuchtendsten ist, also

Rekursiv:


Explizit:


Dabei will man sicher nicht auf Dinge wie das starke Gesetz der kleinen Zahl eingehen (sonst würde sich doch kein Lehrer mehr trauen, eine derartige Aufgabe zu stellen...)

Rekursiv ist in diesem Zusammenhang wohl nur:



mfg

PS: Versteht mich nicht falsch, ich stimme der Unpräzision der Aufgabenstellung zu. Auch die Unklarheit betreffend rekursiver Definition ist natürlich ein Problem...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Kann schon sein, leider kann sich klingklang dazu nicht deutlich äußern. Vielleicht hat sie die hier aufgetauchte, völlig irrelevante Abzählbarkeitsdiskussion verwirrt.
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt einen einfachen Beweis, dass nicht jede Zahlenfolge durch eine rekursive Vorschrift darstellbar sein kann. Ich versuche ihn jetzt mal in Worte zu fassen:

Sei eine Folge mit expliziter Bildungsvorschrift. Angenommen, sie sei periodisch bis zu einem bestimmten Wert von n. Jedes Glied der Folge lässt sich nur durch Operationen der Folgenglieder mit darstellen.
Angenommen, es gibt ein , wobei gelte .
Dann gibt es unter Annahme einer rekursiven Vorschrift nicht nur eine endliche Anzahl von Schritten, die von b nach c führt, sondern auch nach ebenso vielen Schritten zu einem weiteren Wert .
Man kann ein Polynom so konstruieren, dass es für zwei Zahlen b und c mit gibt, für die gilt und .
Sobald sich ein Wert wiederholt, muss die rekursive Folge zwingend periodisch sein, was im Widerspruch dazu steht, dass ein Polynom endlichen Grades nicht periodisch sein kann. Demnach ist nicht jede Folge mit expliziter Bildungsvorschrift auch durch eine Folge mit rekursiver Vorschrift darstellbar.
q.e.d.

EDIT: Sorry, hab editiert, weil ich statt auf den Formeleditor auf "Beitrag speichern" geklickt hab.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von akechi90
Sei eine Folge mit expliziter Bildungsvorschrift. Angenommen, sie sei periodisch bis zu einem bestimmten Wert von n.


Warum nimmst du denn hier Periodizität an? Wo ist da der zusammenhang zur rekursiven Folge? Sprich: Was ist mit den rekursiven nicht-periodischen?

Zitat:
Original von akechi90
Sobald sich ein Wert wiederholt, muss die rekursive Folge zwingend periodisch sein,


Hier bräuchte man wiederum eine genauere Definition von rekursiver Vorschrift. Oben scheinst du eine sehr allgemeine Def. anzunehmen, hier aber "die einfachste"

Zitat:
Original von akechi90
was im Widerspruch dazu steht, dass ein Polynom endlichen Grades nicht periodisch sein kann.


Du hast noch gar nicht gesagt, was das Polynom leisten soll, außer dass es zwei Glieder der Folge abbilden soll. Von daher kannst du auch in keiner Weise von dem Polynom auf die Folge schließen.

Gruß vom Ben
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Leute, das hat doch jetzt wirklich nichts mehr mit dem eigentlichen Thema zu tun! Wenn ihr darüber diskutieren wollte, dann tut dies doch bitte in einem gesonderten Thread.

Ansonsten wird der Thread-Starter hier wirklich nur unnötig verwirrt.


edit: Ich hab die Diskussions-Beiträge direkt abgetrennt. Hier gehts weiter.



Gruß, mercany
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Da haste aber zuviel abgetrennt. Das von akechi90 ist nicht offtopic.


\\edit by mercany: Danke, habs verbessert.
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte noch sagen: Eine Rekursion kann nur durch vorausgegangene Glieder beschrieben werden.
Wiederholt sich jetzt eine Reihe, und sei die Länge der Wiederholung genau so lange wie die Anzahl der für die Rekursion benötigten vorausgegangenen Glieder, so muss sich auch der Rest der Folge wiederholen.

Allerdings ist es unter Zuhilfenahme des n möglich eine Rekursion zu jeder expliziten Darstellung zu konstruieren:



bzw.



Ist die explizite Darstellung allerdings bijektiv, ist es möglich, eine elegante Rekursion zu konstruieren:



Doch für Nicht-bijektive explizite Darstellungen, welche ja bekanntlich nicht umkehrbar sind, kann ich keine einzige Regel erkennen, welche nicht mit Zuhilfenahme der expliziten Darstellung in Abhängigkeit vom n funktioniert.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Es könnte aber sein, dass von allen mit abhängig ist.
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Schon möglich, aber dann müssen wir auch davon ausgehen, dass diese Glieder alle vorgegeben sind, und müssten außerdem davon ausgehen, dass diese
Wenn eine Figur auf einem bestimmten Intervall bijektiv ist, dann ist das auch auf diesem Intervall stets möglich, eine Rekursion zu finden, bezweifle ich auch gar nicht. Aber nehmen wir eine Funktion, welche nicht bijektiv ist, müssen wir auch von einem schwankenden Monotonieverhalten ausgehen, sofern die Funktion stetig ist.

Übrigens hab ich in dem Zusammenhang ne interessante Darstellung für für gefunden:




Das ist eine der wenigen Folgen, die sich auch rekursiv über alle vorigen darstellen lassen, aber die andere Darstellung ist bei weitaus einfacher.
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