quadratische Ergänzung / p-q Formel

28.05.2004, 12:30	pyro`Z	Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische Ergänzung / p-q Formel Guten Tag! Wir haben dieses Thema momentan in der Schule und in der Woche wo wir damit angefangen haben, habe ich gefehlt und ich habe echt keinen der mir auch nur die Grundzüge dieses Rechenverfahrens beibringen kann... Ich brauche so dringend Hilfe für die Arbeit demnächst! Denn wenn ich ne 5 oder 6 schreibe kann meine Versetzung ernsthaft gefährdet sein... falls sich jemand direkt melden will, soll er mich per ICQ anschreiben. bin für jede Hilfe dankbar.
28.05.2004, 12:43	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: p-q Formel Hallo, Einen Thread zu diesem Thema gibt es schon, unter: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=2739&sid= vll helfen dir die Antworten dort weiter.
28.05.2004, 17:16	sommer87	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: p-q Formel hast du evtl ein paar beispiel aufgaben? dann könnten wir die mit dir berechnen. hilfe über ICQ wirst du ihr weniger bekommen. wenn jmd ein problem hat wollen wir das hier erklren, das möglichst viele andere user mit davon profitieren können schreib am besten mal eins zwei aufgaben hier rein und schau dich auch nochmal n den anderen threads hier im board in algebra um. da steht auch schon einiges zum thema
28.05.2004, 19:07	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kennst die 1. und die 2. binomische Formel? $\begin{align} (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \end{align}$ $\begin{align} (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \end{align}$ Das ist alles was du wissen musst. Sagen wir mal, du hast den Term $\begin{align} (x + d)^2 + e \end{align}$ gegeben. Dann kannst du die binomische Formel verwenden. Es folgt $\begin{align} (x + d)^2 + e = x^2 + 2dx + d^2 + e \end{align}$ Setzt du jetzt noch $\begin{align} c = d^2 + e \end{align}$ und $\begin{align} b = 2d \end{align}$ , so ist $\begin{align} (x + d)^2 + e = x^2 + bx + c \end{align}$ . Du kannst also jeden Term der Form $\begin{align} (x + d)^2 + e \end{align}$ umwandeln in einen der Form $\begin{align} x^2 + bx + c \end{align}$ . "Umwandeln" soll hier bedeuten, dass die Terme gleich sind - egal, was man für x einsetzt. Wichtig ist noch zu sagen, dass x eine Variable sein soll und alles andere Konstanten. So, das ist aber noch keine quadratische Ergänzung. Der Clou ist jetzt, dass das ganze auch andersherum funktioniert. D.h., du kannst jeden Term der Form $\begin{align} x^2 + bx + c \end{align}$ in einen der Form $\begin{align} (x + d)^2 + e \end{align}$ umwandeln. Und das geht eben mit dieser ominösen quadratischen Ergänzung. Sagen wir, du hast $\begin{align} x^2 + bx + c \end{align}$ gegeben. So, dann machst du dir zuerst mal eine Klammer, schreibst ein x und ein Plus hinein und schreibst ein Quadrat oben dran: () $\begin{align} (x + ... )^2 \end{align}$ . Wir wollen ja einen Term der Form $\begin{align} (x + d)^2 + e \end{align}$ erreichen. So, jetzt ist die Frage, was für die Punkte eingesetzt werden muss - was also d sein soll. Da kommt jetzt wieder die binomische Formel ins Spiel. Unser neuer Term soll das gleiche sein wie $\begin{align} x^2 + bx + c \end{align}$ . Benutzen wir für () die binomische Formel, so ergibt sich $\begin{align} x^2 + 2\cdot ... \cdot x + ...^2 \end{align}$ . Das heißt, es muss auf jeden Fall gelten: $\begin{align} 2\cdot ... = b \end{align}$ Daraus folgt aber, dass $\begin{align} ... = \frac{b}{2} \end{align}$ . OK, wir können in unserem Term also die Pünktchen ersetzen: $\begin{align} (x + \frac{b}{2})^2 \end{align}$ . Jetzt müssen wir noch prüfen, ob das auch den ursprünglichen Term ergibt. Dazu benutzen wir die binomische Formel zum Ausmultiplizieren: $\begin{align} (x + \frac{b}{2})^2 = x^2 + 2\cdot\frac{b}{2}\cdot x + \(\frac{b}{2}\)^2 = x^2 + bx + \frac{b^2}{4} \end{align}$ . Die ersten beiden Summanden stimmen also. Wenn der letzte Summand jetzt nicht das selbe wie c ist, dann addieren wir eben noch das fehlende drauf (was dann e ist) und erhalten so einen gleichen Term in der Form wie der allererste in diesem Beitrag. ------------------------------------------------------------- Beispiel: -------------- Wir haben gegeben: $\begin{align} x^2 + 6x + 5 \end{align}$ . Wir wollen den Term in die Form $\begin{align} (x + d)^2 + e \end{align}$ bringen. Dazu schreiben wir wie oben zuerstmal $\begin{align} (x + ...)^2 \end{align}$ . Wir hatten oben gesehen, dass für die Pünktchen $\begin{align} \frac{b}{2} \end{align}$ eingesetzt werden muss. b ist hier 6. Also erhalten wir $\begin{align} (x + 3)^2 \end{align}$ . Oben hatten wir an dieser Stelle die binomische Formel zum Ausmultiplizieren benutzt und herausbekommen, dass wir nur noch $\begin{align} \frac{b^2}{4} \end{align}$ berechnen und darauf noch etwas draufaddieren müssen, um auf c zu kommen. c ist hier 5 und $\begin{align} \frac{b^2}{4} \end{align}$ ist 9. Auf 9 müssen wir die -4 draufaddieren, um auf 5 zu kommen. Wir erhalten also den Term $\begin{align} (x + 3)^2 - 4 \end{align}$ . Somit ist $\begin{align} x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4 \end{align}$ , was man auch leicht nochmal mit der binomischen Formel nachprüfen kann. ------------------------------------------------------------- Was nutzt uns nun diese quadratische Ergänzung? Zum Beispiel, wenn wir eine quadratische Gleichung lösen wollen: $\begin{align} x^2 + px + q = 0 \end{align}$ . Den Term auf der linken Seite können wir per quadratischer Ergänzung in einen Term der Form $\begin{align} (x + d)^2 + e \end{align}$ umwandeln. Dann ist $\begin{align} (x + d)^2 + e = 0 \end{align}$ . Wir subtrahieren auf beiden Seiten das e und erhalten $\begin{align} (x + d)^2 = -e \end{align}$ . Ist e nun positiv, so hat die Gleichung keine Lösung, denn links steht ein Quadrat, und das ist immer positiv. Die rechte Seite wäre in unserem Falle aber negativ. Ist e = 0, dann muss x + d = 0 sein, bzw. x = -d. Das wäre die Lösung in diesem Fall. Ist e negativ, so können wir die Wurzel aus -e ziehen. Ziehen wir auf beiden Seiten der Gleichung nun die Wurzel, so folgt $\begin{align} x + d = \pm\sqrt{-e} \end{align}$ und damit $\begin{align} x = -d \pm\sqrt{-e} \end{align}$ , was die Lösung in diesem Falle wäre. ------------------------------------------------------------- Beispiel: ------------ Wir haben die folgende quadratische Gleichung gegeben: $\begin{align} x^2 + 6x + 5 = 0 \end{align}$ . Der linke Term ist genau der gleiche wie in unserem oberen Beispiel. Da hatten wir mit der quadratischen Ergänzung herausbekommen, dass $\begin{align} x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4 \end{align}$ . Unsere Gleichung ist also $\begin{align} (x + 3)^2 - 4 = 0 \end{align}$ . Wir addieren auf beiden Seiten mit 4 und erhalten $\begin{align} (x + 3)^2 = 4 \end{align}$ . Die -4 ist unser e von oben. -e = 4 ist positiv, also können wir die Wurzel ziehen auf beiden Seiten: $\begin{align} x + 3 = \pm 2 \end{align}$ . Daraus folgt $\begin{align} x = -3 \pm 2 \end{align}$ , und wir erhalten die Lösungen -1 und -5.

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