Surjektivität, Injektivität, Bijektivität |
| 01.10.2008, 11:22 | Dommi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Surjektivität, Injektivität, Bijektivität irgendwie kann ich mir die Bijektivität nicht erklären. Helft mir bitte! :-) Surjektivität bedeutet ja, dass ich einem x mindstens ein y zuordnen kann, also wie bei der Funktion x^2, wo positive und negative Zahlen das gleiche Ergenis ergeben können. Injektivität bedeutet, dass einem x höchstens ein x zuordnen kann, also wie bei f (x) = x. Bijektion liegt vor, wenn eine Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv ist. Was heißt das nun genau? Ich kann mir das an Hand von Funktionsbeispielen irgenwie nicht erklären.... Das hier habe ich mal als Zitat herangezogen: "Eine Abbildung heißt Bijektion oder bijektive Abbildung genau dann, wenn f injektiv und surjektiv ist. Damit ist f eine eineindeutige Auf-Abbildung. Jedem Element aus A wird genau ein Element aus B zugeordnet und alle Elemente aus B kommen als Bilder vor." Was bedeuten denn in diesem Zusammenhang genau die Bilder???? Und was bedeutet, dass die Umkehrabbildung bijektiv sein muss? Darüber hinaus habe ich gelesen, dass x^2 auf R nicht bijektiv ist, auf R jedoch als Abbildung betrachtet bijektiv, wieso? Ich verzweifel förmlich, vielleicht habe ich auch einfach nur ein Brett vor dem Kopf.... LG, Dommi 
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| 01.10.2008, 11:35 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Surjektivität, Injektivität, Bijektivität Bijektion bedeutet, dass wir die Elemente zwischen 2 Mengen ein-ein-deutig zuordnen können. Bei Funktionen eben in dem von dir geposteten Wortlaut. Nehmen wir die Funktion Das ist erstmal sehr allgemein gehalten. Nun müssen wir einmal 2 Mengen daraus machen. 1. als Definitionsmenge wollen wir alle x aus IR nehmen, für die sich die Funktin definieren lässt. Es gibt keine Probleme, also können wir schreiben: als zweite Menge wollen wir die Bilder aller Elemente aus der Menge A unter der Abbildung f nehmen. Das nennt man bekanntlich die Wertemenge. Durch das ()² erhalten wir keine negativen Zahlen und daher: Nun versuch mal zwischen beiden Mengen hin und herzuspringen. Von A nach B ist es einfach. Dazu haben wir ja f. 1 -> 1, 2-> 4 etc. Nun versuchen wir von B nach A zu kommen. Da wird es schwieriger. 1 -> -1, +1, 4 -> -2, +2. Es geht also nicht mehr eindeutig. Soweit klar? |
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| 01.10.2008, 11:44 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Surjektivität, Injektivität, Bijektivität Hallo Dommi, Ich weiß nicht genau, ob es nur an der Formulierung oder unüblichen Variablenbezeichnungen liegt, aber ich finde die Eigenschaften nicht richtig wiedergegeben. Zuerst zu den Grundbegriffen: Eine Funktion ist ja ein Zuordnung, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. A heißt „Definitionsmenge“, B heißt „Zielmenge“. Wenn ein Element x aus A einem Element y aus B zugeordnet ist, dann heißt y auch „Funktionswert an der Stelle x“. Die Menge aller Funktionswerte heißt „Wertemenge“. Und dann zur Surjektivität, Injektivität und Bijektivität: Eine Funktion heißt genau dann surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert auftritt. D. h. Ziel- und Wertemenge sind identisch. Oder formal: Zu jedem y aus der Zielmenge gibt es ein x aus der Definitionsmenge, sodass y = f(x). ---- Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert auftritt. Oder formal: Für alle x1 und x2 aus der Definitionsmenge gilt: Wenn f(x1) und f(x2) identisch sind, dann sind es auch x1 und x2. Also es werden nicht zwei verschiedene Elemente der Definitionsmenge demselben Element der Zielmenge zugeordnet. ---- Eine Funktion ist genau dann bijektiv, wenn sie zugleich surjektiv und injektiv ist. Oder anders formuliert: Jedes Element der Zielmenge tritt genau einmal als Funktionswert auf.
„Bild“ ist eine andere Bezeichnung für Funktionswert. Die Elemente der Definitionsmenge nennt man entsprechend „Urbilder“.
Hm, das verstehe ich nicht. Eine umkehrbare Funktion ist sowieso schon bijektiv.
Du meinst wahrscheinlich R+, also die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Na ja, der Grund ist, dass es von der Zielmenge abhängt, ob eine Funktion surjektiv ist. Wenn man die Zielmenge „zu groß“ wählt, sodass nicht jedes ihrer Elemente als Funktionswert auftritt, dann ist die Funktion eben nicht surjektiv. Da f(x) = x² ausschließlich nichtnegative Funktionswerte haben kann, wäre ganz R als Zielmenge „zu groß“ |
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| 01.10.2008, 11:52 | Dommi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also heißt das quasi, dass ich von 4 nicht eindeutig rückschließen kann welche Zahl ich aus dem Definitionsbereich verwendet habe? Also ob -2 oder 2? By the way: IR bedeutet alle Zahlen, negativ und positiv? 
Sorry, ich bin gerade dabie mein Mathewissen wieder aufzufrischen.... 
Welche Funktion wäre denn bijektiv und warum? 
Und was ist mit x^2? Die ist jetzt was genau? |
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| 01.10.2008, 12:00 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Dommi, Hast Du meinen Beitrag auch gesehen? 
Das wäre ein Beispiel für Nicht-Injektivität: Es gibt nicht zu jedem Funktionswert genau eine zugehörige Stelle aus der Definitionsmenge.
R ist die Menge aller reellen Zahlen (positiv, negativ und 0).
„x²“ ist nur ein Term. Zu einer Funktion gehören aber neben einer Funktionsvorschrift auch eine Definitions- und eine Zielmenge. Ansonsten: Überlege doch mal selbst, die Definition kennst Du ja jetzt. |
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| 01.10.2008, 12:05 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bleiben wir bei f(x)=x². Da haben wir so wie ich die Funktion oben hingeschrieben habe 2 Probleme. Aktuell ist A=IR, B=IR 1. Wir kommen z.B. von der 4 nicht wieder eindeutig zurück. Daher ist die Funktion so nicht injektiv. 2. auch rechts stand IR, jedoch liegt zum Beispiel (-1) nicht in der Wertemenge, die sicherlich eine Teilmenge von IR ist. Somit sind wir auch nicht surjektiv. Was können wir also tun? Problem 2 läßt sich leicht beheben, in dem wir auf die rechte seite einfach die Wertemenge schreiben. Da sie von der Definitionsmenge abhängt, können wir also schreiben: B:=f(A) Nun müssen wir uns noch um Punkt 1 kümmern. Definitionsmenge heißt, wo ist ein Funktion definiert. Das können wir unter 2 Gesichtspunkten sehen. a. Es muss mathematisch korrekt sein (z.B. keine division durch 0) b. Ist a erfüllt, kann ich es mir selbst aussuchen. Denn ich definiere ja. Also, welche Reellen Zahlen möchte ich dabei haben. Punkt a macht uns keine Probleme. Nun müssen wir eben eine Teilmenge von IR auswählen, so dass wir obige Probleme beheben können. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten. Wir wollen uns aber auch noch zum Ziel setzten, dass A möglichst "groß" (ein langes Intervall) sein soll. Variante 1: Variante 2: |
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| 01.10.2008, 12:50 | Dommi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Irgendwie tue ich mich mit Euren Erklärungen ein bißchen schwer. Für mich als "Laien" sozusagen ist es teilweise schwer verständlich... 
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| 01.10.2008, 12:56 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann schreibe am besten konkret die Stellen auf, bei denen Dir etwas unklar ist. Denn zumindest ich würde nicht gern nochmal neu anfangen -- und ich habe auch keine bessere Idee, wie man die Begriffe erklären kann.
Ansonsten: Hast Du Dir die Pfeildiagramme bei Wikipedia angesehen oder selbst welche gezeichnet? Das ist IMHO das beste Mittel überhaupt, um sich die Bedeutung von Injektivität usw. klar zu machen. |
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| 01.10.2008, 13:04 | Dommi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Bedeutung der Bijektivität verstehe ich prinzipiell schon. Ich kann nur nicht sagen welche Funktionen bijektiv sind und welche nicht. Nochmal zur Wiederholung: Surjektivität bedeutet, dass ich zu jedem x wenigstens ein y erhalte, es könnten aber auch 2 sein, wie bspw. -3 und 3. Injektivität bedeutet, dass zu jedem x nur ein y gehört. Bijektivität: Es gibt zu jedem x ein y jedoch können zu jedem y mehrere xe passen? Ich glaube gezz bin i völlig durchn Wind.... 
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| 01.10.2008, 13:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist schon die falsche Frage. Denn wir haben bei f(x)=x^2 gesehen, dass sie bijektiv sein kann, und auch wieder nicht. B definieren wir uns als Wertemenge, also Bild der Definionsmenge. Daher muss diese noch angegeben werden, sonst macht die Frage keinen Sinn. |
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| 01.10.2008, 13:11 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du solltest auch sagen, wofür „x“ und „y“ überhaupt stehen, also was Du mit diesen Variablen bezeichnest.
Wenn x für ein Element der Definitionsmenge steht und y für eines der Zielmenge, dann hast Du die Eigenschaften nicht richtig verstanden: Dass jedes Element der Definitionsmenge genau einem Element der Zielmenge zugeordnet wird, ist doch gerade charakteristisch für jede Funktion. Also das gilt ohnehin. Interessant ist die umgekehrte Richtung: Gibt es auch zu jedem „y“ ein „x“? Und gibt es mehr als eines? Bitte mache Dir zuerst nochmal die Definitionen der Eigenschaften klar. |
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| 01.10.2008, 14:04 | Dommi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe mir nun alles nochmal in Ruhe durch gelsen und ich verstehe nun gar nix mehr! Sorry! 
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| 01.10.2008, 14:11 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann nehme ich an, dass Dir der Funktionsbegriff selbst gar nicht klar ist. Denn die Eigenschaften sind wirklich nichts Besonderes, im Grunde genommen nur neue Namen. Tja, was nun? 
Wir können Dir jedenfalls nur helfen, wenn Du genau sagst, was Dir unklar ist. Ansonsten könntest Du Dich doch erst nochmal über Wikipedia informieren, im Schulbuch nachsehen o. ä. |
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