2 Züge

01.10.2008, 12:18

Kaiser Wilhelm

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2 Züge

Ich habe hier folgende Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme.

Wir befinden uns auf einer Zugstrecke von Münster nach Dortmund. Auf der Strecke fahren wei Züge mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Zug A bewegt sich mit 120 km/h, Zug B mit 40 Km/h.
Zug A sieht in 1 Kilometer Zug B, er leitet sofort eine Bremsmanöver ein und käme so nach 4 Kilometern zum Stillstand.

1. Frage: Welche Berechnungen muss ich anstellen, um die Kollision der beiden Züge zu begründen?

Ich habe gedacht, dass man ersteinmal die Zeit berechnen muss, die Zug A für sein Bremsmanöver bis zum Stillstand benötigt. (Ich weiß zwar, wie man den Anhalteweg physikalisch und auch mit der Fahrschulformel berechnet, dass dies hier aber irgendwie nicht zur Anwedung führen). Wenn ich dann die Zeit hätte, würde ich die Srecke berechnen, die Zug B zurückgelegt hat.

2. Frage: Nun soll der Ort und die Zeit berechnet werden, andem es zum Auffahrunfall kommt.

Bei dieser Aufgabe fehlen mir die Gedanken oder Ansätze, die mich zur Lösung des Problems führen würden. Ich würde mich daher sehr um Hilfe bzw. einen Denkanstoß an mich erfreuen.

3. Frage: Da soll ich die Geschwindigkeiten ermitteln, die die Beiden Züge im Moment des Aufpralls von Zug A auf B innehaben.

Das war denk ich die schwierigste Aufgabe von den dreien, bin daher auch überfragt, wie ich da zu einer Lösung kommen könnte.

Albert Einstein hat einmal gesagt, das Problem zu erkennen, ist von höherer Bedeutung als die Lösung, denn die Lösung wird früher oder später daraus resultieren. Sie ist im Grunde nur ein Nebenprodukt das sich aus einem Problem heraus kristallisiert. (Ich habe Einsteins Zitat etwas verlängert, jedoch nichts an der Kernaussage verändert!)

01.10.2008, 12:26

tigerbine

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RE: 2 Züge
Sie fahren also in die gleiche Richtung? Zum Zeitpunkt der Sichtung beträgt ihr Abstand 1km.

01.10.2008, 12:38

Kaiser Wilhelm

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RE: 2 Züge

Zitat:

Original von tigerbine
Sie fahren also in die gleiche Richtung? Zum Zeitpunkt der Sichtung beträgt ihr Abstand 1km.

Ja genau.

01.10.2008, 12:43

tigerbine

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RE: 2 Züge
Dann fassen wir doch einmal 2 Diagramme ins Auge. Wir wollen gegenüber der Zeit t (t=0 Zeitpunkt der Sichtung), die Ortsposition (s=0 zum Zeitpunkt der sichtung bei A, s=1km bei B) und in einem zweiten tragen wir die Geschwindigkeiten der Züge auf.

Um vernünftige Einheiten zu wählen, mal ausrechnen, wie lange A für das Bremsmanöver braucht, und die Geschwindigkeiten mal in m/s umrechnen.

01.10.2008, 12:50

Kaiser Wilhelm

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RE: 2 Züge

Zitat:

Original von tigerbine
Um vernünftige Einheiten zu wählen, mal ausrechnen, wie lange A für das Bremsmanöver braucht, und die Geschwindigkeiten mal in m/s umrechnen.

Da würd ich die Formel v=s/t nach t umstellen, also t=s/v.

t= 4000/(120/3,6)

t= 120s

01.10.2008, 12:58

tigerbine

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RE: 2 Züge
Oder 2 Minuten. Bleiben wir aber mal bei den Sekunden. Wir interessieren uns also für die Ortsangaben und die Geschwindigkeiten im Intervall [0,120]

Was uns fehlt, ist eine Angabe über der Bremsverhalten eines Zuges. Also welche Funktion dahinter steckt. Da wir nur 2 Wertepaare kennen für t=0, t=120, würde ich eine Gerade durch legen. (http://www.stellwerke.de/grund/seite1_8.html) Das mag im Schulalltag richtig sein, in der Praxis ist dieses Vorgehen so nicht zu vertreten, zumindst dann nicht, wenn man es als exakte Lösung verkaufen will. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kannst du also einmal die Funktionen und das Bild für die Geschwindigkeiten von A und B aufstellen?

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01.10.2008, 13:04

Kaiser Wilhelm

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Re: 2 Züge
Also ich weiß echt nicht wie ich das jetzt machen soll.

01.10.2008, 13:07

tigerbine

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RE: 2 Züge
Zug B ist doch einfach. Der bremst doch gar nicht. Also immer gleich schnell.

Zug A eben eine Gerade durch die Beiden punkte legen.

01.10.2008, 13:11

Kaiser Wilhelm

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RE: 2 Züge

Zitat:

Original von tigerbine
Zug B ist doch einfach. Der bremst doch gar nicht. Also immer gleich schnell.

Zug A eben eine Gerade durch die Beiden punkte legen.

Ich komme da einfach nicht weiter, kann man das nicht auch in Formeln statt in die Diagrammen berechnen?

01.10.2008, 13:19

tigerbine

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RE: 2 Züge
Naja, ich will doch die Formel von dir Wissen. Dazu sollst du eben die Geradengleichung aufstellen.

01.10.2008, 13:24

Kiaser Wilhelm

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RE: 2 Züge

Zitat:

Original von tigerbine
Naja, ich will doch die Formel von dir Wissen. Dazu sollst du eben die Geradengleichung aufstellen.

Und die Aufagabe anders zu lösen geht echt nicht?

01.10.2008, 13:28

tigerbine

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RE: 2 Züge
Also nach einer Konstanten Funktion ist eine Gerade das billigste was ich mir vorstellen kann. woran scheiterst du denn? Bislang hast du es ja noch nicht einmal versucht.

EDIT:

Nur haben wir das Problem, dass ich mich mit den 120s geirrt habe. Man kennt zwar den Bremsweg, aber nicht wie lange der Zug zum abbremsen braucht. Somit ist die Zeit als x-Achse eine schlechte Wahl von mir gewesen. Sorry. Finger1

Finger1

01.10.2008, 13:43

klarsoweit

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RE: 2 Züge

Zitat:

Original von tigerbine
Was uns fehlt, ist eine Angabe über der Bremsverhalten eines Zuges. Also welche Funktion dahinter steckt.

Diese ergibt sich aber sofort aus den physikalischen Bewegungsgleichungen:

$\begin{eqnarray*} v(t) = 120 \frac{km}{h} + a \cdot t \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} s(t) = 120 \frac{km}{h} \cdot t + \frac 1 2 a \cdot t^2 \end{eqnarray*}$

Also gehe zurück zur Badstraße und nochmal das ganze. smile

smile

@Kaiser Wilhelm: ich habe dir die Arbeit, die Bewegungsgleichungen aufzustellen, entgegen meiner sonst üblichen Art mal abgenommen, damit das irgendwie mal hier weiter geht. Du solltest dir aber klar machen, wie diese entstehen. Eigentlich gehört das Thema hier sowieso eher ins Physiker-Board.

01.10.2008, 13:52

Kaiser Wilhelm

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Re: 2 Züge
Ich danke dir erste einmal für deine Hilfe mit den Formeln. Aber wie werden diese denn aufgestellt, oder auch wie kommst du auf diese Formeln.

01.10.2008, 14:00

klarsoweit

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RE: 2 Züge
Dazu braucht es eben ein paar Physik-Kenntnisse. Z. B. ist bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung [latex[v(t) = v_0 + a \cdot t[/latex]. Die Konstante a ist dabei die (Brems-)Beschleunigung.

Die dabei zurückgelegte Strecke s ist das Integral $\begin{eqnarray*} s(t) = s_0 + \int_0^t~v(\theta)~d \theta \end{eqnarray*}$

01.10.2008, 16:13

Mathewolf

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Das Thema, das ihr gerade in Physik behandelt, deutet darauf hin, daß du in der 11. Jahrgangsstufe bist. Falls dem so ist, wirst du mit dem letzten Posting von Klarsoweit nicht sehr viel anfangen können, da ihr Integralrechnung noch nicht behandelt habt.
In der Schule hattet ihr sicherlich das Weg-Zeit-Gesetz (für beschleunigte Körper)
$\begin{eqnarray*} s(t)=s_0+v_0t+\frac12at^2 \end{eqnarray*}$ ,
das Geschwindigkeit-Zeitgesetz
$\begin{eqnarray*} v(t)=v_0+at \end{eqnarray*}$
und das einer geradlinig-gleichförmigen Bewegung
$\begin{eqnarray*} s(t) = s_0+v_0t \end{eqnarray*}$
gehabt.

Diese Gleichungen mußt du jetzt auf die gegebene Aufgabe anwenden. Das Problem ist nun, dass dir die Bremsbeschleunigung a des abbremsenden Zuges nicht gegeben ist. Wie groß ist a?
Dann kannst du die Bewegungsgleichungen der beiden Züge niederschreiben. Achte dabei darauf, daß du den Nullpunkt deines Bezugssystems geeignet wählst. (Tipp: Leg den Nullpunkt so, dass für den abbremsenden Zug $\begin{eqnarray*} s(t=0) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt)

01.10.2008, 17:22

Kaiser Wilhelm

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Re: 2 Züge

Zitat:

Original von Mathewolf
Das Problem ist nun, dass dir die Bremsbeschleunigung a des abbremsenden Zuges nicht gegeben ist. Wie groß ist a?

a kann ich doch mit folgender Formel berechnen:

s=v²/2a

a=s/v²/2

Richtig so?

01.10.2008, 17:35

Mathewolf

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Nein, $\begin{eqnarray*} a=-\frac{v_0^2}{2s} \end{eqnarray*}$ . Warum, ist das wohl so?

02.10.2008, 00:33

Kaiser Wilhelm

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Also, ich bin nicht in der 11 Jahrgangsstufe, sondern in der 10 Klasse.
Die Aufgabe habe ich im Internet gefunden, konnte sie selber aber nicht lösen und so wollte ich hier um Hilfe bitten!!
Ich möchte gern den Rechenweg ergründen und brauche daher eure Hilfe.

02.10.2008, 01:37

Mathewolf

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Dann gehen wir das mal Schritt für Schritt durch.
Also, um die Beschleunigung $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ berechnen zu können, müssen wir erst die Unbekannte $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ (die Zeit) aus unseren Gleichungen eleminieren. Um die Zeit zu berechnen, die der Zug mit der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ benötigt, um zum Stillstand zu gelangen, verwenden wir das Geschwindigkeits-Zeitgesetz:
$\begin{eqnarray*} v(t) = v_0+at \end{eqnarray*}$
Sei nun $\begin{eqnarray*} t_b \end{eqnarray*}$ die Zeit, die der Zug zum Abbremsen braucht, dann gilt $\begin{eqnarray*} v(t_b)=0 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} 0=v_0+at_b\ \Leftrightarrow\ t_b=-\frac {v_0}a \end{eqnarray*}$ .
Dies können wir nun verwenden, um die Beschleunigung zu berechnen, die der abbremsende Zug erfährt, in dem wir die Zeit $\begin{eqnarray*} t_b \end{eqnarray*}$ in das Weg-Zeit-Gesetz einsetzen und die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ umformen.
Es gilt dann
$\begin{eqnarray*} s = s_0+v_0t_b+\frac 12 at_b^2 \end{eqnarray*}$ . Wir legen unseren Bezugspunkt so, daß $\begin{eqnarray*} s(t=0)=0\ \Rightarrow\ s_0=0 \end{eqnarray*}$ und setzen den Wert für $\begin{eqnarray*} t_b \end{eqnarray*}$ ein. Damit erhalten wir
$\begin{eqnarray*} s = v_0\left(-\frac{v_0}a\right)+\frac12a\left(\frac{v_0}a\right)^2\ \Leftrightarrow\ s=-\frac{v_0^2}a+\frac12\frac{v_0^2}a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\ s=-\frac{v_0^2}{2a}\ \Leftrightarrow\ a=-\frac{v_0^2}{2s}. \end{eqnarray*}$
Das negative Vorzeichen der Beschleunigung sagt aus, daß es sich in der Tat um eine Abbremsung handelt.
Wir können somit die Bewegungsgleichung des bremsenden Zuges hinschreiben:
$\begin{eqnarray*} s_1(t) = v_0t-\frac{v_0^2}{2s}t^2 \end{eqnarray*}$

Die Bewegungsgleichung des zweiten Zuges ist denkbar einfach, da er mit konstanter Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_k \end{eqnarray*}$ fährt. Beachte, daß dieser Zug bei Sichtung eine Entfernung $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ zu Zug 1 hat. Es gilt also
$\begin{eqnarray*} s_2(t=0)=s_1\ \Rightarrow\ s_2(t)=s_1+v_kt \end{eqnarray*}$ .

Bist du soweit mitgekommen?

02.10.2008, 10:24

Kaiser Wilhelm

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Re: 2 Züge
Na ein bisschen verwirren mich die ganzen Formeln schon etwas.
Wie muss man den jetzt weiter verfahren, um zu einem Ergebnis zu gelangen?

PS:ich find das echt toll, dass du die ganze Rechnung schrittweise erklärst.

02.10.2008, 10:27

klarsoweit

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RE: 2 Züge

Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} v(t) = 120 \frac{km}{h} + a \cdot t \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} s(t) = 120 \frac{km}{h} \cdot t + \frac 1 2 a \cdot t^2 \end{eqnarray*}$

Man braucht das ganze eigentlich nicht so kompliziert aufziehen. Aus den obigen Gleichungen ergibt sich schon alles. Wenn der schnelle Zug auf v=0 abgebremst ist, gilt für diesen Zeitpunkt t_0:

$\begin{eqnarray*} 120 + a \cdot t_0 = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 120 \cdot t_0 + \frac 1 2 a \cdot t_0^2 = 4 \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Gleichung erhält man a * t_0 = -120
Das kann man in die zweite Gleichung einsetzen und diese dann nach t_0 auflösen.

02.10.2008, 10:54

Kaiser Wilhelm

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Re: 2 Züge
Und wie soll ich das jetzt auflösen?

02.10.2008, 12:24

klarsoweit

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RE: 2 Züge
Meine Güte. Du fragst nur, rechnest aber kein Stückchen.

$\begin{eqnarray*} 120 \cdot t_0 + \frac 1 2 a \cdot t_0^2 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 120 \cdot t_0 + \frac 1 2 \cdot (a \cdot t_0) \cdot t_0 = 4 \end{eqnarray*}$

Und jetzt für a * t_0 die -120 einsetzen.

02.10.2008, 12:30

Mathewolf

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RE: 2 Züge

Zitat:

Original von Kaiser Wilhelm
Wie muss man den jetzt weiter verfahren, um zu einem Ergebnis zu gelangen?

Du hast jetzt die Bewegungsgleichungen $\begin{eqnarray*} s_1(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_2(t) \end{eqnarray*}$ der Züge 1 und 2 gefunden. Das heißt, zu jedem Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ kannst du ihren Ort berechnen. Um unser Problem zu lösen, brauchen wir nur noch die Schnittpunkte (falls sie existieren) bestimmen. Im Fall eines Crashes müssen beide Züge zum Zeitpunkt t_c am selben Ort sein, das heißt, es gilt $\begin{eqnarray*} s_1(t_c)=s_2(t_c) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\ v_0t_c-\frac{v_0^2}{2s}t_c^2=s_1+v_kt_c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\ -\frac{v_0^2}{2s}t_c^2+(v_0-v_k)t_c-s_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\ t_c^2 - \frac{2s(v_0-v_k)}{v_0^2}t_c + \frac{2s_1s}{v_0^2}=0 \end{eqnarray*}$
Du brauchst jetzt nur noch die entsprechenden Werte einzusetzen und die quadratische Gleichung lösen.
$\begin{eqnarray*} s=4\,km \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_1=1\,km \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_0=120\,\frac{km}h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_k=40\,\frac{km}h \end{eqnarray*}$
Falls die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb L=\emptyset \end{eqnarray*}$ ist, bedeutet es, dass die Züge sich nicht treffen, falls sie genau eine Lösung besitzt, berühren sich die Züge nur, d.h, es kommt ebenfalls zu keinem Crash. Und besitzt sie zwei Lösungen, kommt es zu einem Crash.

21.04.2009, 19:16

Danny08209

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Ich weiß nicht; ich komme zwar rechnerisch auch auf t=120s, aber die Probe stimmt doch nur mit t=240s.

S=1/2*a*t² a=V/t=33,3/120=-0,2777 m/s²

4000m=0,5*(-0,2777)*14400 ??? ---------> t=120s

a=33,3/240=-0,13888 m/s²

4000m=0,5*(-0,13888)*57600 !!!! ---------------> t=240s

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? verwirrt

verwirrt

21.04.2009, 19:46

Danny08209

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RE: 2 Züge
Kompliziert! verwirrt

verwirrt

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