Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit

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Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit
Moin,

Ein betrunkener hat in seiner Tasche 6 Schlüssel, von denen aber nur einer in das Schloss seiner Wohnung passt. Er probiert die Schlüssel wahllos durch, wobei er aber noch so fit ist, dass er einen falschen Schlüssel nicht wieder in die Tasche zurücksteckt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er den richtigen Schlüssel spätestens beim dritten Griff?

Mein Ansatz ist jetzt, dass ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten miteinander malnehmen muss. Da im Text "spätestens" und "nicht zurück steckt" steht, ergibt sich damit für mich folgendes:

1. Griff:

2. Griff:

3. Griff:


Wahrscheinlichkeit für richtigen Schlüssel = 1*0.833*0.666=0.554778

Richtig?
NatürlicheZahl Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, leider nicht.

Du musst bedenken, dass du die Wahrscheinlichkeit suchst, dass er spätestens beim 3. Versuch seinen Schlüssel findet, d.h. die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für den richtigen Griff beim 1. Versuch, beim 2. Versuch und beim 3. Versuch müssen aufaddiert werden.
 
 
Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,
ok, dann ist alles klar.



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Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dieser Rechnung wäre die Wahrscheinlichkeit, dass spätestens der fünfte Schlüssel der richtige ist, schon > 1.
Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »

und nun?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Jeder der 6 Schlüssel kann der Richtige sein. Gibt es einen Grund, weshalb diese Wahrscheinlichkeiten nicht alle gleich sein sollten?
Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja,
weil die Möglichkeiten sich ändern. Zuerst hat er doch die Auswahl aus 6 Schlüsseln. Da kann der richtige bei sein.

Ich nehme an, der erste ist verkehrt. Nun hat er noch die Auswahl aus fünf Schlüsseln zu wählen, da er den falschen nicht wieder zurücklegte...usw

Ich sehe aber schon, dass die Wahrscheinlichkeit bei allen 6 durchprobierten Schlüsseln bei 1 sein muss. Wo liegt mein Denkfehler?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Wahrscheinlichkeiten ändern sich nicht!

Gedanke 1:
Die Schlüssel werden in der Reihenfolge, in der sie genommen werden, nummeriert. Der richtige Schlüssel kann mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede Nummer haben. Also p = 1/6 für jeden Schlüssel. Wahrscheinlichkeit für spätestens der dritte Schlüssel: 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2

Gedanke 2:
Wahrscheinlichkeit für den ersten Schlüssel = 1/6
In 5/6 der Fälle ist er es nicht. Wahrscheinlichkeit für den zweiten = 1/5, aber nur für die genannten 5/6 der Fälle. Also insgesamt 5/6*1/5 = 1/6
Setzt man das fort, ergibt sich auch so für den driitten und jeden weiteren Schlüssel die Wahrscheinlichkeit 1/6.
Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,
beim Durchstöbern meiner Unterlagen habe ich Pfadregeln gefunden.

1.Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit längs eines Pfades ist gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.

2.Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten längs aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

Hängt das damit irgendwie zusammen? Wenn ja, kannst du mir meine Aufgabe mal damit entschlüsseln und umschreiben?

Danke dafür...

Zurück zu meiner Aufgabe, somit muss die Wahrscheinlichkeit, nach deiner Rechnung P=0,5 liegen? Was mich verwirrt, ist die Aussage "spätestens"
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

(1) Das 'spätestens' hast du in die Aufgabe geschreiben. Es bedeutet, man findet den Schlüssel beim ersten, zweiten oder dritten Versuch. Da diese drei Ereignisse nicht gleichzeitig eintreten können, sind ihre Wahrscheinlichkeiten zu addieren.

(2) Der Weg über Baumdiagramm mit Pfadregeln ist hier der umständlichere Weg.

(3) Pfadregel 2 hast du nicht ganz korrekt formuliert. Es muss dort heißen, 'am Ende aller Pfade' statt 'längs'.

(4) Den Weg über das Baumdiagramm habe ich oben schon skizziert. Ich schreibe ihn noch mal etwas baummäßiger hin:

*---V1+ 1/6
....|
.....V1- 5/6---V2+ 1/5 5/6*1/5 = 1/6
..................|
..................V2- 4/5---V3+ ? ???

Vi+ heißt Schlüssel bei Versuch i gefunden.
Vi+ heißt Schlüssel bei Versuch i nicht gefunden.
Du solltest in der Lage, das selbst zu Ende zu bringen.
Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »

1/4 4/6*1/4=1/6

Alle Versuche zusammengezählt : P=0,5
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Was du da hingeschrieben hast, ergäbe 1/24 und nicht 1/6. Mit dem Pfad zu 'beim dritten Versuch gefunden' hat das auch nichts zu tun. Für diesen Pfad gilt:

5/6*4/5*1/4 = 1/6

5/6 Wahrscheinlichkeit für Nichtfinden beim ersten Versuch
4/5 Wahrscheinlichkeit für Nichtfinden im zweiten Versuch unter der Bedingung im ersten Versuch nicht gefunden
1/4 Wahrscheinlichkeit für Finden beim dritten Versuch unter der Bedingung im ersten und zweiten Versuch nicht gefunden
Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Mühe...
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