Dichtheitssatz

06.07.2006, 12:24

Bibop

Dichtheitssatz

Ich bin gerade dabei den Dichtheitssatz-Beweis zu verstehen, also das folgende

$\begin{eqnarray*} \forall x,y \in \mathbb{R} \mbox{mit} x<y \mbox{gilt}: \exists q \in \mathbb{Q} \mbox{mit} x<q<y \end{eqnarray*}$

Beweis:
Archimedes $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N}: \frac{1}{n} < y - x \end{eqnarray*}$

Die Menge A wird wiefolgt definiert: $\begin{eqnarray*} A := (s \in \mathbb{Z} \mid s > nx) \end{eqnarray*}$

A ist nach dem Archimedes-Axiom nicht leer, enthält also ein kleinstes Element, das wir $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ nennen.

Also gilt:

$\begin{eqnarray*} x < \frac{m}{n}= \frac{m - 1}{n} + \frac{1}{n} < x +y -x =y \end{eqnarray*}$

Also insgesamt:

$\begin{eqnarray*} x < q = \frac{m}{n} < y \end{eqnarray*}$

Nun meine Fragen:

1. Warum folgt aus dem Archimedesaxiom, das die Menge A nicht leer ist?

2. WIr haben in der Vorlesung gezeigt: Jede nach unten (oben) beschränkte Teilmende der natürlichen Zahlen besitzt ein Minimum (Maximum). Bei der Menge A handelt es sich jedoch um ganze Zahlen? Der Prof sagte, man kann das leicht überführen durch Spüiegelung an der 0 bzw durch Verschiebung. Das ist mir nicht ganz klar.

3. Warum ist $\begin{eqnarray*} \frac{m-1}{n} < x \end{eqnarray*}$ ??Etwa weil m m die kleinste zahl ist die die ungleichung in der Definiton der Menge A erfüllt? Und wenn man davon 1 abzieht muss die zahl somit kleiner als x sein?

Vielen Dank schon mal im Voraus

07.07.2006, 20:32

Abakus

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RE: Dichtheitssatz

Zitat:

Original von Bibop
1. Warum folgt aus dem Archimedesaxiom, das die Menge A nicht leer ist?

Der Satz des Archimedes besagt, dass es zu jeder reellen Zahl eine größere natürliche Zahl gibt. Deine Formulierung ist dazu äquivalent.

Zitat:

2. WIr haben in der Vorlesung gezeigt: Jede nach unten (oben) beschränkte Teilmende der natürlichen Zahlen besitzt ein Minimum (Maximum). Bei der Menge A handelt es sich jedoch um ganze Zahlen? Der Prof sagte, man kann das leicht überführen durch Spüiegelung an der 0 bzw durch Verschiebung. Das ist mir nicht ganz klar.

Betrachte zB die negativen Ganzen Zahlen. Hier besitzt jede nichtleere beschränkte Teilmenge ein Minimum. Ein Maximum existiert für nichtleere Teilmengen immer.

Zitat:

3. Warum ist $\begin{eqnarray*} \frac{m-1}{n} < x \end{eqnarray*}$ ??Etwa weil m m die kleinste zahl ist die die ungleichung in der Definiton der Menge A erfüllt? Und wenn man davon 1 abzieht muss die zahl somit kleiner als x sein?

Ja. Da (m-1) nicht in A ist, erfüllt diese Zahl auch nicht die A beschreibende Ungleichung. Demnach gilt die andere Richtung der Ungleichung.

Grüße Abakus smile

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