Numerisch differenzieren

01.10.2008, 20:23

tigerbine

Numerisch differenzieren

Ich bin auf zwei Varianten der "Extrapolation mit der h-Methode" gestoßen, dazu war ein Rechenbeispiel angegeben. Fragen dazu:

1. Ist es hier Zufall, dass man nach umstellen auf die gleiche Funktion (S und Z) kommt?

2. Ist die zweite Methode numerisch stabiler und wenn ja, wie kann man das Begründen?

Im Folgenden zitiere ich mal, was ich mir schon notiert habe

Zitat:

Sei die Funktion im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar, so existiert der Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Dabei ist der Bruch der Differenzenquotient und man kann ihn als Steigung der Sekanten durch die Punkte $\begin{eqnarray*} (x_0,f(x_0)) (x_0+h,f(x_0+h)) \end{eqnarray*}$ auffassen. Diese können wir also als Funktion in h auffassen und interessieren uns für den Wert an der Stelle h=0.

$\begin{eqnarray*} S(h) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0} =\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Schnell ist also die Idee formuliert. Man bestimmt für verschiedene Werte von h den Funktionswert von S und legt durch die Daten das Interpolationspolynom und wertet es an der Stelle 0 aus. Dabei ist es sinnvoll die Werte durch eine Nullfolge zu bestimmen, zum Beispiel wieder durch die Rombergfolge:

$\begin{eqnarray*} h_0=1, ~h_n=\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Als Beispiel wollen wir uns die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ anschauen und die Ableitung im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ approximieren. Theoretisch würden wir erhalten $\begin{eqnarray*} f'(0)=\cos(0)=1 \end{eqnarray*}$ . Dann lautet die Funktion S:

$\begin{eqnarray*} S(h) = \frac{\sin(0+h)-\sin(0)}{(0+h)-0} = \frac{\sin(h)-0}{h} = \frac{\sin(h)}{h} \end{eqnarray*}$

Wählen wir die Knoten (bzgl. h), so erhalten wir den Startdatensatz:

$\begin{eqnarray*} h_0 =\frac{1}{8},~h_1=\frac{1}{16},~h_2=\frac{1}{32} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(h_0) =8\cdot \sin(\frac{1}{8}),~S(h_1)=16\cdot \sin(\frac{1}{16}),~S(h_1)=32 \cdot \sin(\frac{1}{32}) \end{eqnarray*}$

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10:	Neville Schema - Funktionswerte bei 0 ===================================== NW = 0.1250 0.9974 1.0013 1.0004 0.0625 0.9993 1.0007 0 0.0313 1.0000 0 0

[attach]8737[/attach]

Zitat:

Ein alternativer Weg wäre die Verwendung des zentralen Differenzenquotienten. Wieder erkennen wir die zugehörige Sekantensteigung und im Grenzwertfall die Ableitung.

$\begin{eqnarray*} Z(h)=\frac{f(x_0+h) - f(x_0-h)}{(x_0+h)-(x_0-h)}= \frac{f(x_0+h) - f(x_0-h)}{2h} \end{eqnarray*}$

Was sind die Vorteile dieser Darstellung?

Untersuchen wir die Funktion Z ein wenig. Es ist:

$\begin{eqnarray*} Z(-h)=\frac{f(x_0+(-h)) - f(x_0-(-h))}{2(-h)} =\frac{f(x_0-h) - f(x_0+h)}{-2h} =\frac{f(x_0+h) - f(x_0-h)}{2h} = Z(h) \end{eqnarray*}$

D.h. Z ist eine Gerade Funktion in h. Daher macht es Sinn, auch nur gerade Polynome (nur gerade Potenzen) zu Interpolation zu verwenden.
(Die entspricht dem Vorgehen, welches wir schon bei der Romberg-Integration gesehen haben)

Wenden wir uns wieder dem Beispiel zu. Der Sinus ist eine ungerade Funktion, daher lautet die Funktion:

$\begin{eqnarray*} Z(h) = \frac{\sin(0+h)-\sin(0-h)}{2h} = \frac{\sin(h)-\sin(-h)}{2h} =\frac{\sin(h)+\sin(h)}{2h} = \frac{\sin(h)}{h} \end{eqnarray*}$

Die Interpolationspolynome haben dann bezüglich der Variablen h die Gestalt:

$\begin{eqnarray*} p_{i,k}(h) = \sum_{j=0}^{k}~a^{(i)}_kh^{2k} \end{eqnarray*}$

Um das Neville-Schema übernehmen zu können, schreiben wir mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x:=h^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_{i,k}(x) = \sum_{j=0}^{k}~a^{(i)}_kx^{k} \end{eqnarray*}$

Wieder wählen wir die Knoten (bzgl. h), so erhalten wir den Startdatensatz:

$\begin{eqnarray*} h_0 =\frac{1}{8},~h_1=\frac{1}{16},~h_2=\frac{1}{32} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z(h_0) =8\cdot \sin(\frac{1}{8}),~Z(h_1)=16\cdot \sin(\frac{1}{16}),~Z(h_1)=32 \cdot \sin(\frac{1}{32}) \end{eqnarray*}$

Das ergibt bzgl. x (beachte, die Funktionswerte werden beibehalten!)

$\begin{eqnarray*} x_0 =\frac{1}{64},~x_1=\frac{1}{256},~x_2=\frac{1}{1024} \end{eqnarray*}$

Das Neville Schema liefert bzgl. x:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10:	Neville Schema - Funktionwerte bei 0 ===================================== NW = 0.0156 0.9974 1.0000 1.0000 0.0039 0.9993 1.0000 0 0.0010 0.9998 0 0

02.10.2008, 00:52

tigerbine

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RE: Numerisch differenzieren
Frage 1 bleibt bestehen, auf 2 denke ich hier eine gute Antwort gefunden zu haben. (http://www.unibw.de/rz/dokumente/fakulta...enverfahren.pdf)

02.10.2008, 07:17

Airblader

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Ich würde jetzt mal sagen, dass S(h) und Z(h) (zumindest mal) dann gleich werden, wenn

$\begin{eqnarray*} f(x_0-h) = -f(x_0+h) \end{eqnarray*}$ gilt.

Dies ist zB bei allen ungeraden Funktionen für x0=0 der Fall.
Man beachte, dass eine ungerade Funktion auch f(0)=0 impliziert.

Überprüfen wirs mal durch Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} S(h) = \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = \frac{f(x_0+h)-0}{h} = \frac{f(x_0+h)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z(h) = \frac{f(x_0+h) - f(x_0-h)}{2h} = \frac{f(x_0+h)+f(x_0+h)}{2h} = \frac{f(x_0+h)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(h) = Z(h) \end{eqnarray*}$

air

02.10.2008, 09:39

tigerbine

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Ok, das der Sinus ungerade ist hatte ich ja geschrieben, das Prinzip können wir dann übertragen. Imho ist (in der Quelle) das Beispiel aber verwirrend, da man am ende die gleiche Funktion erhält, aber mit unterschiedlichen Werten weiterrechnet. Ich würde es didaktisch für besser halten, erst ein anderes Beispiel anzuführen und dann den Sinus anbringen.

Man sollte vielleicht noch gerade Funktion und "weder gerade noch ungerade" einmal betrachten, odeR?

Gruß Wink

02.10.2008, 10:38

Huggy

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Eigentlich enthält die Antwort auf Frage 2 auch die Antwort auf Frage 1. Im Allgemeinen sind S und Z nicht gleich, wie schon das Beispiel

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax+bx^2+cx^3 \end{eqnarray*}$

zeigt.

S ergibt die Ableitung mit einem Fehler $\begin{eqnarray*} O(h) \end{eqnarray*}$ , bei Z ist der Fehler $\begin{eqnarray*} O(h^2) \end{eqnarray*}$ .

02.10.2008, 16:12

tigerbine

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Danke. Vermutet hatte ich es, aber es hätte ja auch sein können, dass ich was übersehen habe. Augenzwinkern

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