C algebraischer Abschluss von Q ??

02.10.2008, 14:09

Pinky2008

C algebraischer Abschluss von Q ??

Hallo!!

Ich habe eine Frage zum Thema algebraischer Abschluss.
Und zwar:

C (Komplexe Zahlen) ist ein algebraischer Abschluss von R (reelle Zahlen). richtig?

C ist aber, nach meinen Quellen nach, KEIN algebraischer Abschluss von Q (rationale Zahlen), sondern der Körper der algebraischen Zahlen von Q (laut Wikipedia) ist der alg. Abschluss von Q.
Jetzt meine erste Frage:
Warum ist C kein alg. Abschluss von Q? Ich hab da zwei mögliche Theorien; bin mir aber unsicher ob auch nur eine davon richtig ist...

1. Möglichkeit:
C ist einfach keine algebraische körpererweiterung von Q, d. h. nicht alle Elemente von C sind Nullstellen der Polynome aus Q[x].

2. Möglichkeit:
C ist es nicht, weil es noch einen kleineren Körper, nämlich den der algebraischen Zahlen, gibt und mit dem Begriff "algebraischer Abschluss" immer die KLEINSTE Erweiterung mit diesen Eigenschaften (also des Alg. Abschlusses) gemeint ist.

(jetzt, wo ich mir nochmal so meine beiden Möglichkeiten durchlese, finde ich, dass sie irgendwie zusammenhängen...mh...aber wieder unsicher!!!)

Ich hoffe, ihr versteht was ich versuche euch zu fragen...ist nicht ganz einfach diesen "knoten" in Worte zu fassen...!!!

Dann noch eine andere Frage:
In meinem Scipt steht zum Thema Eindeutigkeit eines algebraischen Abschlusses wortwörtlich folgendes:

"Eindeutigkeit? Nein! aber Isomorphie! "

Irgendwie reicht diese kurze Formulierung nicht ganz für mein Verständnis aus. Auch hier habe ich schon eine Vermutung bei der ich mir aber wieder unsicher bin...

Heißt es:
es gibt zu einem Körper mehrere algebraische Abschlüsse aber diese sind dann isomorph zueinander??

Ich hoffe, ihr lasst euch von dem langen Text nicht abschrecken und könnt mir weiterhelfen!! Gott

schonmal vielen Dank!!

02.10.2008, 14:40

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Hallo,
ist doch eigentlich ganz einfach, warum C kein alg. Abschluss von Q ist.

Schau dir mal die Definition an:

Zitat:

In der Algebra ist ein algebraischer Abschluss L eines Körpers K ein kleinster algebraisch abgeschlossener Oberkörper von K in dem Sinne, dass es keinen echten Zwischenkörper der Erweiterung L / K gibt, der algebraisch abgeschlossen ist.

Die Menge der algebraischen Zahlen ist ein (echter) Zwischenkörper zwischen Q und C, d.h. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \subsetneqq \mathbb{A} \subsetneqq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Wobei A die Menge aller algebraischen Zahlen von Q ist.

Das A der algebraische Abschluss von Q ist, folgt aus der Def. von A.

02.10.2008, 15:43

Muffi

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Zitat:

Original von 42
Die Menge der algebraischen Zahlen ist ein (echter) Zwischenkörper zwischen Q und C, d.h. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \subsetneqq \mathbb{A} \subsetneqq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Wobei A die Menge aller algebraischen Zahlen von Q ist.

Dass die Inklusionen strikt sind, kann man übrigens an $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\not\ni\sqrt{2}\in\mathbb{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{A}\not\ni\pi\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ leicht einsehen.

02.10.2008, 16:57

Pinky2008

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Hi!!
Erstmal Danke für die schnellen Antworten! Läuchtet mir auch soweit ein...

Sowas hatte ich ja in der 2. Möglichkeit schon vermutet...(Juhu...bin doch nicht ganz blöd :hammer smile

Aber was ich daran nicht verstehe ist, dass der algebraische Abschluss ja nicht Eindeutig ist. Aber nach DEINER Definition (aus Wikipedia nehme ich an :-)) müsste er doch eindeutig sein oder kann es mehrere "kleinste" geben??
Es kann natürlich auch sein, dass ich den Begriff der "Eindeutigkeit" falsch verstanden habe...( das war auch eine meiner Fragen oben)

02.10.2008, 20:00

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Hallo,
also weiter heißt es dort:

Zitat:

Mit Hilfe von Zorns Lemma kann man beweisen, dass jeder Körper K einen algebraischen Abschluss hat, und dass dieser Abschluss eindeutig im folgenden Sinne ist: Hat man zwei algebraische Abschlüsse L und M von K, dann gibt es einen (im Allgemeinen nicht-kanonischen) Körper-Isomorphismus f:L \to M , der K punktweise fest lässt (also f(x)=x für alle x in K). Auch wenn der algebraische Abschluss bis auf Isomorphie eindeutig ist, ist es im Allgemeinen problematisch, von dem algebraischen Abschluss von K zu sprechen. Man sollte aber beachten, dass die algebraischen Erweiterungen eines Körpers im Allgemeinen keine Menge bilden. Dies ist der Grund, warum man nicht sofort mit dem Lemma von Zorn schließen kann und der Beweis sich als komplexer erweist als man zunächst vermuten könnte.

http://de.wikipedia.org/wiki/Algebraischer_Abschluss

Naja das ist bei Körpern, Ringen, Gruppen immer so ne Sache. Nur weil diese sich exakt gleich verhalten, müssen diese nicht zwingend gleich sein.

Unser Prof. hat uns man folgendes Beispiel gegeben.

Er definierte: $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ ist der Körper mit (+, *), der nur die Elemente 0, 1 enthält und folgende Verknüpfungstafel bestitzt:
+: 0+0=1, 0+1=....
*: 0*0=0, 0*1=0,...

Naja später kamen dann die Restklassenringe.
Dort enthält $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ auch nur die Elemente 0, 1 (bzw. $\begin{eqnarray*} \overline{0}, \overline{1} \end{eqnarray*}$ ) und verhält sich bei + und * identisch zu dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$

Dennoch gilt: $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \neq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Der Grund ist, dass die Elemente nicht gleich sind. Beim $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ gibt es eben nur die Zahl 0 und 1, während die Elemente des $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ eben Restklassen sind.
Zwischen diesen beiden Körpern existiert aber ein Isomorphismus.

(Achja, manche definieren den F_p := Z/pZ, dann wäre F_2 = Z/2Z. In diesem Fall aber nicht)

Deswegen, Körper können sehr ähnlich sein, sich gleich Verhalten und die Schreibweise der Elemente gleich sein, dennoch müssen die Körper nicht die selben sein. Das kommt eben immer darauf an, wie man das definiert.

Hier ein Beispiel von Wikipedia:

Zitat:

Dieser Körper (die algebraischen Zahlen) hat viele Automorphismen, und jeder davon liefert eine Einbettung in die komplexen Zahlen C. Das heißt, es gibt keine kanonische Einbettung, sondern man hat bei der Zuordnung von algebraischen Zahlen zu komplexen Zahlen gewisse Freiheiten. So kann man z.B. die Nullstellen des Polynoms x2 + 1 innerhalb des Körpers der algebraischen Zahlen nicht voneinander unterscheiden und man hat die Wahl, welche der beiden man als imaginäre Einheit i bezeichnet. Die andere Nullstelle dieses Polynoms ist dann eindeutig bestimmt und hat den Wert - i. Aber auch nach dieser Festlegung hat man für andere Polynome noch Freiheiten, ihre Nullstellen auf komplexe Zahlen abzubilden.

http://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Zahl

Zwar zu Anfang nicht ganz einfach nachzuvollziehen, aber evt. hilft es. Denn wie gesagt, sind zwei Körper bis auf isomorphie eindeutig, dann haben diese das gleiche Verhalten und sie zu unterscheiden fällt manchmal recht schwer.

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