Def.Bereich von Funktion mit 2 Veränderlichen

06.07.2006, 21:41

tomtofly

Def.Bereich von Funktion mit 2 Veränderlichen

Hallo!

Wie gehe ich vor, wenn ich den maximalen Defintionsbereich einer Funktion von mehreren Veränderlichen bestimmen soll?? Und dann noch bei sowas verkettetem wie z.B. diese Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=ln( \sqrt{x^2+y^2}) \end{eqnarray*}$

Wie geh ich da ran? Was muss ich mir überlegen? Und wie schreib ich dass dann hin? Hab da noch nicht so den Plan von unglücklich

Also ich versuch mal einen Ansatz (um den guten Willen zu zeigen Augenzwinkern

)
Also ich könnte mir überlegen, dass der ln an der Stelle 0 nicht definiert ist, also fällt die Null wohl schon mal aus dem Definitionsbereich raus, oder? Aber wie läuft das genau jetzt mit den zwei Variablen und wie schreib ich das dann hin? Bitte helft mir doch verwirrt

06.07.2006, 21:45

Calvin

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RE: Def.Bereich von Funktion mit 2 Veränderlichen

Zitat:

Original von tomtofly
Also ich könnte mir überlegen, dass der ln an der Stelle 0 nicht definiert ist, also fällt die Null wohl schon mal aus dem Definitionsbereich raus, oder?

Nicht die 0, sondern das Zahlenpaar (0,0). Überlege dir mal, welches Vorzeichen der Ausdruck unter der Wurzel hat, wenn du ein anderes Zahlenpaar einsetzt. Kann es also noch weitere Definitionslücken geben?

06.07.2006, 22:05

tomtofly

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mh, also muss schon mal

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2>0 \end{eqnarray*}$

gelten. Und nun? Wie schreib ich das jetzt hin?

06.07.2006, 22:15

Calvin

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Stimmt. $\begin{eqnarray*} x^2+y^2>0 \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Wurzel definiert. Da die Wurzel einer Zahl aber auch immer positiv ist, ist damit auch der ln definiert. Es gibt also außer (0,0) keine weiteren Definitionslücken.

Mögliche Schreibweise: $\begin{eqnarray*} D=\{(x,y)\in \mathbb R^2|(x,y)\neq(0,0)\} \end{eqnarray*}$

06.07.2006, 22:36

tomtofly

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ah okay!

Und für die funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=arctan(\frac{y}{x}) \end{eqnarray*}$

sieht der Definitionsbereich dann so aus:

$\begin{eqnarray*} D=\{(x,y)\in\mathbb R ^2 | x \neq 0\} \end{eqnarray*}$

oder??

und für $\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^{xy} \end{eqnarray*}$

is da $\begin{eqnarray*} D = \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ verwirrt

06.07.2006, 22:49

JochenX

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Ja.
Ja.

Alles in Ordnung.
Für alle (x,y) mit x<>0 gibt y einen sinnvollen Wert aus IR und für alle reellen Werte ist der Arcustangens definiert.
Die e-Funktion frisst sowieso alle reellen Werte und x*y liefert für alle Belegungen von x und y einen solchen.

06.07.2006, 22:56

tomtofly

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hehe super.

Dann hätt ich nur noch eine schnell Augenzwinkern

und zwar die funktion:

$\begin{eqnarray*} f(r,w)=r\sqrt{cos(2w)} \end{eqnarray*}$

Denk mal die is wieder über gesamt R^2 definiert, oder??

06.07.2006, 23:00

JochenX

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hmmm, wenn du nicht ins Komplexe ausweichen darfst, dann bekommst du mit negativen Wurzeln arge Probleme.
Und dann solltest du etwas schauen, wann denn dieser Kosinus Ärger macht.

Für r darfst du hier alles einsetzen und das unter der Wurzel ist r-unabhängig.
Das läuft also wie bei der w-Defintiionsbereich-Betrachtung von $\begin{eqnarray*} f(1,w)=\sqrt{\cos(2w)} \end{eqnarray*}$ , also Funktion mit einer Unbekannten.

06.07.2006, 23:13

tomtofly

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also glaub dass für w, das da gelten muss:

$\begin{eqnarray*} \frac{2k+1}{2} \pi \leq w \leq \frac{2k+3}{2} \pi \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} k\in Z \end{eqnarray*}$

kann man das so angeben?

06.07.2006, 23:27

JochenX

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irgendwie nicht ganz.

Für k=1 bekommst du w von 3/2pi bis 5/2 pi, das ist schon mal gut.
Für k=2 bekommst du w von 5/2 pi.... MOMENT, das darf doch erst ab 7/2pi weitergehen.
merkst du was?

wenn du es auf "halbe pi" machst, dann fängt es immer alls 4*"halbe pi" wieder von vorne an.
Du bist auf einem guten Weg, also versuchs mal zu verfeinern, versuchs mal mit einer 4 vor dem k und dazu...... Alternativ (*) kannst du auch einfach ein Intervall angeben und dann beliebige 2pi-Vielfache dazuaddieren (die 2pi-Vielfachen entsprechen den 4k*pi/2......).

Angeben könntest du es dann für die letzte Variante (*) z.B. so:
Es sei [a,b] eines der Intervalle, das für w passt.
Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb D_w=\{x \in \mathbb R| \exists y \in [a,b], \exists k \in \mathbb Z: x=y+2k\pi\} \end{eqnarray*}$ oder ähnlich.
Sei kreativ!

07.07.2006, 13:12

tomtofly

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also, hab über alles nochmal nach gedacht und hab mir jetzt folgenden Definitonsbereich für die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(r,w)=r\sqrt{cos(2w)} \end{eqnarray*}$

überlegt:

$\begin{eqnarray*} D = \{(r,w)\in \mathbb R ^2 | \exists y \in [\frac{3}{4} \pi,\frac{5}{4}\pi], \exists k \in Z : w=k\pi + y\} \end{eqnarray*}$

Genau für diesen Bereich müsste nämlich der cos(2w) immer positiv sein.

So, ich hoffe das passt! Kann es mir bitte jemand bestätigen, od es stimmt oder nicht??? Dankeschön!!

07.07.2006, 13:30

JochenX

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Nein, nein, nein

$\begin{eqnarray*} ....w=2k \pi+y... \end{eqnarray*}$
zwei zwei zwei, ein Fehler auf den ich dich oben schon aufmerksam gemacht hatte.
Ein Intervall der Breite pi und dann daraus ganzzahlige pi-Vielfache gibt wieder ganz IR.

Füge die 2 hinzu, dann kannst du es so schreiben.

07.07.2006, 14:01

tomtofly

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Zitat:

Original von LOED
Nein, nein, nein

$\begin{eqnarray*} ....w=2k \pi+y... \end{eqnarray*}$
zwei zwei zwei, ein Fehler auf den ich dich oben schon aufmerksam gemacht hatte.
Ein Intervall der Breite pi und dann daraus ganzzahlige pi-Vielfache gibt wieder ganz IR.

Füge die 2 hinzu, dann kannst du es so schreiben.

hä? ich versteh garnichts mehr! Ich muss doch von der Funktion cos(2w) die positiven Stellen raus filtern und nicht von der Funktion cos(w)!

Meinst du so ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} D = \{(r,w)\in \mathbb R ^2 | \exists y \in [\frac{3}{4} \pi,\frac{5}{4}\pi], \exists k \in Z : w=2k\pi + y\} \end{eqnarray*}$

edit: ALSO DAS IS FALSCH!!

07.07.2006, 16:41

JochenX

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so, hab meinen letzten Beitrag noch mal hoffentlich ungelesen gelöscht.
Ja, an den Zweier hatte ich nicht mehr gedacht, mea culpa! Gott

Ja, so sieht das gut aus.
Das Intervall liefert genau die eine "nichtnegative" Menge, alle anderen bekommst du durch hinzuaddieren von Periodevielfachen. Periode hier =Pi.

Ja, stimmt.

07.07.2006, 16:53

tomtofly

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Zitat:

Original von tomtofly
also, hab über alles nochmal nach gedacht und hab mir jetzt folgenden Definitonsbereich für die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(r,w)=r\sqrt{cos(2w)} \end{eqnarray*}$

überlegt:

$\begin{eqnarray*} D = \{(r,w)\in \mathbb R ^2 | \exists y \in [\frac{3}{4} \pi,\frac{5}{4}\pi], \exists k \in Z : w=k\pi + y\} \end{eqnarray*}$

Genau für diesen Bereich müsste nämlich der cos(2w) immer positiv sein.

So, ich hoffe das passt! Kann es mir bitte jemand bestätigen, od es stimmt oder nicht??? Dankeschön!!

ALSO ALLES WAS IN DIESEM BEITRAG STEHT, STIMMT NUN, RICHTIG???

Gott sei dank, hab schon wieder an mir gezweifelt *hehe aber ich hatt das schon gehant, dass du die 2 in cos(2w) übersehen hattest!

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