Ungleichungen

02.10.2008, 19:54

Felix

Ungleichungen

$\begin{eqnarray*} x² + ax + b \leq 0 \end{eqnarray*}$

Ohne irgendetwas besonders beachten zu müssen komme ich auf folgende Form :

$\begin{eqnarray*} (x + \frac{a}{2})² \leq \frac{a²}{4} - b \end{eqnarray*}$

Was genau muss ich jetzt beachten, wenn ich die Wurzel ziehe ?
Um konkreter zu werden : Wenn ich die Wurzel ziehe, dann erhalte ich ein Ergebnis der Form :

$\begin{eqnarray*} x + \frac{a}{2} \leq + \sqrt{\frac{a²}{4}-b} \end{eqnarray*}$ .

Mein zweites Ergebnis müsste eigentlich so aussehen :

$\begin{eqnarray*} x + \frac{a}{2} \geq - \sqrt{\frac{a²}{4}-b} \end{eqnarray*}$ .

Warum genau dreht sich das Ungleichheitszeichen um ?
Meine Begründung:
Beim Wurzelziehen wurde die Diskriminante durch $\begin{eqnarray*} -\sqrt{D} \end{eqnarray*}$ dividiert um eben auf $\begin{eqnarray*} -\sqrt{D} \end{eqnarray*}$ zu kommen. Da durch eine negative Zahl dividiert wurde dreht sich das Zeichen um.
Allerdings scheint mir meine Begründung ungenau und ist wahrscheinlich auch falsch sonst müsste ja für den Fall $\begin{eqnarray*} x + \frac{a}{2} < 0 \end{eqnarray*}$ auch umgedreht werden usw. und so fort.

Wie ihr seht sind meine Gedanken diesbezüglich ein wenig ungeordnet, wäre also toll wenn ihr mir helfen könntet smile

02.10.2008, 20:00

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Nichts mit "ersten und zweiten" Ergebnissen: Wenn du die Wurzel aus

$\begin{eqnarray*} \left( x + \frac{a}{2} \right)^2 \leq \frac{a^2}{4} - b \end{eqnarray*}$

ziehst, dann steht da (natürlich sowieso nur im Fall $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{4} - b \geq 0 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \left| x + \frac{a}{2} \right| \leq \sqrt{\frac{a^2}{4} - b} \end{eqnarray*}$

Und die Auflösung des Betrages führt auf die beiden von dir genannten Ungleichungen.

02.10.2008, 20:21

Felix

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Danke

, da hab ich von der falschen Richtung aus gedacht Big Laugh

02.10.2008, 20:48

Felix

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Hab mich jetzt noch an einem Betrags - Ungleichungs Beispiel versucht :

$\begin{eqnarray*} \mid x² + 5x + 6 \mid \leq \mid x² - 3x + 2 \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x² + 5x + 6 \leq 0 \end{eqnarray*}$ gilt im Intervall [-3;-2]

$\begin{eqnarray*} x² - 3x + 2 \leq 0 \end{eqnarray*}$ gilt im Intervall [1;2]

Auf den restlichen Intervalllen kann ich die Betragsungleichung also als "normale" Ungleichung anschreiben. Damit erhalte ich den Wert -0,5. Die Ungleichung stimmt also auf den Intervall ]-unendlich; -0,5].

Ich denke mal, dass das soweit richtig ist. Allerdings habe ich während dem Lösen probiert auf dem Intervall [-3;-2] folgendermaßen zu lösen:

Da $\begin{eqnarray*} x² + 5x + 6 \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mid x² + 5x + 6 \mid = -(x² + 5x + 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -(x² + 5x + 6) \leq x² - 3x + 2 \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge dieser Ungleichung ist nach meinen Berechnungen aber leer. Kann das sein ?

lg

02.10.2008, 21:12

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Es ist selten, aber es gibt tatsächlich auch Fälle, wo Quadrieren eine Äquivalenzumformung ist - z.B. bei Ungleichungen, wo auf beiden Seiten garantiert nichtnegative Werte stehen, wie es z.B. bei

$\begin{eqnarray*} |x^2 + 5x + 6| \leq |x^2-3x+2| \end{eqnarray*}$

der Fall ist:

$\begin{eqnarray*} (x^2 + 5x + 6)^2 \leq (x^2-3x+2)^2 \end{eqnarray*}$

Die weitere Umformung gemäß Binom $\begin{eqnarray*} a^2-b^2=(a-b)(a+b) \end{eqnarray*}$ ergibt dann

$\begin{eqnarray*} (8x + 4)(2x^2+2x+8) \leq 0 \end{eqnarray*}$ ,

was dann zu einem wesentlich kürzeren Verfahren führt als eine umständliche Fallunterscheidung, welche - sauber ausgeführt - aber selbstverständlich auch zum richtigen Ergebnis führt.

P.S.: Es wäre besser, wenn du im LaTeX die Quadrate mit ^2 statt mit ² schreibst. Momentan toleriert die Boardsoftware das ², aber sauberes LaTeX ist das nicht.

02.10.2008, 21:22

Felix

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$\begin{eqnarray*} -(x^{2} + 5x + 6) \leq x^{2} - 3x + 2 \end{eqnarray*}$

Nach Umformungen komme ich auf :

$\begin{eqnarray*} -2x^{2} - 2x - 8 \leq 0 \end{eqnarray*}$

Durch -2 dividiert ergibt das :

$\begin{eqnarray*} x^{2} + x + 4 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mid x + 0,5 \mid \geq \sqrt{-3,75} \end{eqnarray*}$

Was hab ich hier falsch gemacht ??

Danke für den Hinweis mit dem quadrieren Freude

P.S. : Ab sofort verwende ich ^2 Augenzwinkern

02.10.2008, 21:39

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Zitat:

Original von Felix
$\begin{eqnarray*} x^{2} + x + 4 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mid x + 0,5 \mid \geq \sqrt{-3,75} \end{eqnarray*}$

Die Folgerung ist Unsinn: Zunächst mal steht da

$\begin{eqnarray*} \left( x +\frac{1}{2} \right)^2 \geq -3{,}75 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt steht links ein Quadrat und rechts eine negative Zahl ...

02.10.2008, 21:45

Felix

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Aja natürlich Big Laugh

Dann danke ich nochmal für die Hilfe Freude

- fürs Erste bin ich mit dem Kapitel fertig ...

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