schiefsymmetrische Matrix

07.07.2006, 00:15

Daktari

schiefsymmetrische Matrix

Hi

Sei $\begin{eqnarray*} A\in {\mathbb R}^{nxn} \end{eqnarray*}$ schiefsymmetrisch, d.h. $\begin{eqnarray*} A=-A^t \end{eqnarray*}$ .
z.z. A schiefsymmetrisch -> A normal

Mein Ansatz bis jetzt:
A Normal wenn $\begin{eqnarray*} AA^H=A^HA \end{eqnarray*}$ ist. $\begin{eqnarray*} A^H=A^t \end{eqnarray*}$ , da A reell (das queren fällt weg, da A reell)
Sei $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij})\in {\mathbb R}^{nxn} \end{eqnarray*}$
z.z. $\begin{eqnarray*} AA^t=A^tA \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} AA^t=\sum_{j=1}^n a_{ij}a_{ji}=\sum_{j=1}^n (-a_{ji})a_{ji}=-\sum_{j=1}^n (a_{ij})^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^tA=\sum_{i=1}^n a_{ji}a_{ij}=\sum_{i=1}^n (-a_{ij})a_{ij} =-\sum_{i=1}^n (a_{ji})^2=-\sum_{i=1}^n (-a_{ij})^2=-\sum_{i=1}^n (-a_{ij})(-a_{ij})=-\sum_{i=1}^n (a_{ij})^2 \end{eqnarray*}$

Bis auf den Laufindex ist das gleich
Ich könnte $\begin{eqnarray*} AA^t=-\sum_{j=1}^n (a_{ij})^2=-\sum_{j=1}^n (a_{ji})^2 \end{eqnarray*}$ umformen. Dann läuft beidesmal der erste Index.

Aber wie folgt die Gleichheit?

Mir fehlt der entscheidende Funke für diese Aufgabe. Könnt ihr mir nen Tip geben? Ist mein Ansatz falsch? (Ich will keine Lösung)

07.07.2006, 00:25

JochenX

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ein bisschen verwirrend schreibst du ja schon
"sei A Schiefsymmetrisch...."
und dann "zz. A schiefsymmetrisch =>...." das klingt nach einer weiteren Bedingung, aber die ist doch schon vorher bekannt gewesen!?

Es ist $\begin{eqnarray*} A^t=-A \end{eqnarray*}$
Ich weiß nicht, warum du das nicht einfach einsetzt:

$\begin{eqnarray*} AA^t=A*(-A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^tA=(-A)*A \end{eqnarray*}$ und du bist schon fertig.

07.07.2006, 00:41

Daktari

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omg, an wo was leichtes hab ich jetzt gar nicht gedacht. Hammer

Hab eine Indexschlacht vermutet geschockt

Danke LOED Mit Zunge

07.07.2006, 00:54

JochenX

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Keine Ursache, aber wenn du morgen nochmal deine Lösung anschaust.... dann überlege bitte mal, was du da überhaupt ausgerechnet hast.

Bei dir ist $\begin{eqnarray*} AA^t \end{eqnarray*}$ ein Skalar (nichts anderes ist die Summe nämlich) und zwar, wenn du es genau wissen willst, der ii-te Eintrag (der i-te Diagonaleintrag) der richtigen $\begin{eqnarray*} AA^t \end{eqnarray*}$ -Matrix.

Da ist was gehörig schiefgelaufen oder?

Allgemein wird $\begin{eqnarray*} (A*B)_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}*b_{jk} \end{eqnarray*}$ komponentenweise berechnet (n Spaltenzahl von A, Zeilenzahl von B, restliche Bezeichnungen schlampigeweise wie vermutet).
Insbesondere bräuchte man also bei quadratoschen Matrizen wie bei dir n^2 Komponenten (da laufen bei mir die Indizes i und k).
Da ist also auch noch gehörig mehr schiefgelaufen, aber wenn du willst, kannst du es damit noch einmal versuchen. Als Übung ist das sicher gut, denn immer umgeht man diese Indexschlachten nicht.

Habs mal der Übung halber selbstgemacht:
setze eine beliebige Komponente $\begin{eqnarray*} (AA^t)_{i,k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A^tA)_{i,k} \end{eqnarray*}$ an und vergleiche.....
Es ist relativ einfach.

Gute Nacht.

07.07.2006, 18:50

Daktari

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Kann man den Beweis wie folgt hinschreiben?

z.z $\begin{eqnarray*} AA^t=A^tA \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AA^t=A(-A)=(-A)A=A^tA \end{eqnarray*}$ , da A schiefsymmetrisch

bleibt mit "Indexschlacht" zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A(-A)=(-A)A \end{eqnarray*}$
Das "will" ich allgemeiner (mit Indexschlacht) zeigen und zwar $\begin{eqnarray*} A(cA)=(cA)A \forall c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij})\in {\mathbb R}^{nxn} \end{eqnarray*}$ , dann ist
$\begin{eqnarray*} [A(cA)]_{ik}=[a_{ij}(c*a_{ij})]_{ik}=\sum_{j=1}^n a_{ij}*c*a_{jk}=\sum_{j=1}^n c*a_{ij}*a_{jk}=[(cA)A]_{ik} \end{eqnarray*}$

07.07.2006, 19:52

JochenX

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Zitat:

Original von Daktari
Das "will" ich allgemeiner (mit Indexschlacht) zeigen und zwar $\begin{eqnarray*} A(cA)=(cA)A \forall c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Also eigentlich solltest du auch irgendwelche Dinge als bekannt voraussetzen dürfen.
Das man "Skalare hin- und herschieben kann" ist eine relativ elementare Eigenschaft der Matrizenmultiplikmation.

Aber deinen Beweis muss ich trotzdem etwas tadeln:
Lass den hinteren Teil von $\begin{eqnarray*} [A(cA)]_{ik}=[a_{ij}(c*a_{ij})]_{ik} \end{eqnarray*}$ weg.
Schreibe dann lieber in einer neuen Bermekung: $\begin{eqnarray*} A=(a_{i,j})_{i,j=1,....,n} \end{eqnarray*}$

Ganz korrekt wäre die obige Aussage auch nicht.
Eher so: $\begin{eqnarray*} [A(cA)]_{ik}=[(a_{i,j})_{i,j=1,....,n}*(c*(a_{i,j})_{i,j=1,....,n})]_{ik} \end{eqnarray*}$
und das sieht ja schon so unnötig unschön aus.

Was du hinschreibst ist etwas von der ik-ten Komponente eines Skalars (denn das ist dieses in der Klammer wieder).
Darum einfach Nebengleichung, wie das A aussehen soll, dann diesen Teil weglassen und der Beweis ist richtig.
Natürlich gilt es noch allgemeiner für $\begin{eqnarray*} (c*A)*B=c*(A*B)=A*(c*B) \end{eqnarray*}$ .

smile

edit 22.23: noch ganz nebenbei smile

$\begin{eqnarray*} (-A)B=-(AB)=A(-B) \end{eqnarray*}$ gilt in jedem Ring und somit kannst du das sogar noch allgemeiner halten, wenn ihr schon wisst, dass diese quadratischen n,n-Matrizen Ringe bilden
Und IRGENDWAS müsst ja sogar ihr voraussetzen dürfen smile

PS: hier regnets wie aus Eimern

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