Beweis Vektorraum

02.10.2008, 23:57

Sonnschein

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Beweis Vektorraum

Hallo miteinander!
Bei folgender Aufgabe habe ich Mühe, sie zu beweisen:

Wenn c E R sowie: p: (N --> R, n --> pn) = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~piX^i \end{eqnarray*}$ und q: (N --> R, n --> qn) = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~qiX^i \end{eqnarray*}$
reelle Polynome, wobei np, nq E N, so definiert man die Summe von Polynomen und das Produkt eines Skalars mit einem Polynom als:
c*p: (N --> R, n --> (c*pn)) = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~(c*pi)*X^i \end{eqnarray*}$
p + q: (N --> R, n --> (pn + qn)) = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~(pi + qi)*X^i \end{eqnarray*}$

Beweise, dass R[X] mit den Operationen + und * und einer geeigneten Null ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen ist.

--> was ich bis jetzt aufgeschrieben habe ist, dass für ein vektorraum folgendes gilt:
- Assoziativität
- Distributivgesetze:
± * (u + v) = ± * u + ± * v
(± + ²) * v = ± * v + ² * v
-Neutralität der 1 des Körpers K:
1 * v = v

nun, meine konkrete Frage: Wie kann ich diese Eigenschaften auf mein gegebenes System übertragen? Hab ich mit diesen Eigenschaften dann wirklich schon alles bewiesen?

Vielen Dank im Voraus!
Mit freundlichen Grüssen, suuunshine

03.10.2008, 00:20

tigerbine

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RE: Beweis Vektorraum
Ich persönlich bin nun zu müde, um mich durch die "Hilfssysmbolik" hier zu lesen. Ich nehme mal an, du versuchst den Vektorraum der Polynome (fester Grad oder nicht?) zu beweisen. http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#...um_der_Polynome

Dabei hast du imho richtig erkannt, dass man alles auf die Körpereigenschaft der reellen Zahlen zurückführen kann.

03.10.2008, 14:44

Sonnschein

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RE: Beweis Vektorraum
das hab ich gelesen, doch mir fehlt die "übertragung" auf mein beispiel..

03.10.2008, 14:48

tigerbine

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RE: Beweis Vektorraum
Schreibe anstatt v,w Polynome hin und fasse die Koeffizienten neu zusammen. verwirrt

verwirrt

04.10.2008, 15:20

Sonnschein

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RE: Beweis Vektorraum
Nun gut, ich habe das nun so beschrieben, weiss aber nicht, ob das stimmt und vor allem, ob das der Beweis ist --> help :-)

Dass R[X] mit den Operationen * und + ein Vektorraum ist, muss gelten:

c * p = p * c --> gilt!
1*(c+p) = 1*c + 1*p --> gilt!
-1*(c+p) = -1*c + -1*p --> gilt!
1* c = c --> gilt!
1*v = v --> gilt!

...das kann doch nicht der Beweis sein..?
Leute, ich brauche wirklich Hilfe, wie ich das beweisen kann :-)
..ich danke im Voraus!

04.10.2008, 17:53

tigerbine

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RE: Beweis Vektorraum
Gegeben sind uns:

$\begin{eqnarray*} c, p_i, q_i \in \mathbb R, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p:=\sum_{i=0}^n~p_ix^{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q:=\sum_{i=0}^n~q_ix^{i} \end{eqnarray*}$

Wir wollten zeigen, dass die Menge aller p und q, bezeichnet mit $\begin{eqnarray*} \Pi_n \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist. Dabei sind folgende Rechenoperationen definiert. Addition und Skalarmultiplikation:

$\begin{eqnarray*} p+q : =\sum_{i=0}^n~(p_iq_i)x^{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c\cdot p : =\sum_{i=0}^n~(c\cdot p_i)x^{i} \end{eqnarray*}$

Nun müssen eben die geforderten Axiome nachgeprüft werden. Die Rechnungen spielen sich nur in den () ab, zwischen Reellen Zahlen. Diese Bilden einen Körper. Damit ist imho schon die additive Gruppe gezeigt. Ferner folgt auch die Skalarmultiplikation.

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04.10.2008, 21:11

Sonnschein

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RE: Beweis Vektorraum
oke, super! Wenn ich das also folgendermassen aufschreibe, wie du gesagt hast UND zusätzlich noch meine Ideen aufschreibe, also:

c * p = p * c --> gilt!
1*(c+p) = 1*c + 1*p --> gilt!
-1*(c+p) = -1*c + -1*p --> gilt!
1* c = c --> gilt!
1*p = p --> gilt!

Ist dann der Beweis "vollbracht" oder was fehlt noch, bzw. muss ich das obenstehende genauer beweisen?

MfG

04.10.2008, 21:19

tigerbine

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RE: Beweis Vektorraum
Der haken bei deiner Notation ist, dass du nicht begründest, warum es gilt. Ferner verstehe ich deine erste Zeile nicht. Eine Skalarmultiplikation muss erklärt sein, mehr nicht. Das ist durch die Definition doch geschehen.

Abelsch "+"

$\begin{eqnarray*} p+q=\sum_{i=0}^n~(p_i+q_i)x^{i} \stackrel{\mathbb R}=\sum_{i=0}^n~(q_i+p_i)x^{i}=q+p \end{eqnarray*}$

04.10.2008, 21:38

Sonnschein

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RE: Beweis Vektorraum
ach super..eben, dann ist alles bewiesen, nicht?

04.10.2008, 21:54

tigerbine

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RE: Beweis Vektorraum
Wenn man es so schreibt, imho schon.

04.10.2008, 23:10

Sonnschein

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RE: Beweis Vektorraum
Sorry, meine letzte Frage: Was meint man denn in der Frage mit "einer geeigneten Null" ?

04.10.2008, 23:17

tigerbine

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RE: Beweis Vektorraum
Imho einen Nullvektor, das Nullpolynom.

04.10.2008, 23:26

Sonnschein

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RE: Beweis Vektorraum
also du meinst das hier:

0 + c = c ; 0 + p = p

(für das * muss ich das auch machen (0*c=0) oder nicht?)

04.10.2008, 23:35

tigerbine

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RE: Beweis Vektorraum
Wieso 0+c? Ich denke c ist der Skalar?

Das Nullpolynom hat eben nur 0 als Koeffizient. dann folgt 0+p=p .

04.10.2008, 23:58

Sonnschein

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RE: Beweis Vektorraum
stimmt! =)
also, ich habe folgende Eigenschaften noch notiert, um zu beweisen, dass es sich um einen Körper handelt. Stimmen sie?

c * p = p * c
1*(p+q) = 1*p + 1*q
q + p = p + q
-1*(q + p) = -1*q + -1*p
1*c = c ; 1*p = p
0+p = p
c^-1 * c = 1 ; p^-1 * p = 1
c(p+q) = c*p + c*q

04.10.2008, 23:59

tigerbine

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RE: Beweis Vektorraum
Wieso willst du nun Körper beweisen. Wir brauchen die abelsche Gruppe bzgl. "+" und eine Skalarmultiplikation.

05.10.2008, 00:11

Sonnschein

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RE: Beweis Vektorraum
ja, ich dachte nur, dass dies vielleicht gut sei, weil wir ja mal darauf gekommen sind, dass die Rechnungen einen Körper bilden.
Oke, aber wie sieht die skalarmultiplikation aus? also ist es das was du beschrieben hast: p+q = .... q + p
?

05.10.2008, 00:19

tigerbine

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RE: Beweis Vektorraum
Ich habe gesagt, dass das daher kommt, weil wir die Koeffizienten der Polynome als reelle Zahlen wählen. Die Bilden eben einen Körper. Wir haben aber nicht definiert, was p * q sein soll, somit macht es auch keinen Sinn weiter in dieser Richtung zu ermitteln.

Die SM sieht so aus, wie sie definiert wurde.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} c\cdot p : =\sum_{i=0}^n~(c\cdot p_i)x^{i} \end{eqnarray*}$

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