Ermitteln einer Variable bei gegebenen Flächeninhalt

03.10.2008, 03:08

SatzMitX

Ermitteln einer Variable bei gegebenen Flächeninhalt

Hallo Leute,
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Und zwar geht es um folgende Aufgabe:

Für welches t (t>0) hat die Fläche zwischen der Parabel f(x)= -x²+t² und der x-Achse den Inhalt 36?
Meine Vermutung: int.f(x)dx=36 (int.:Integralzeichen)

Ich bedanke mich bei euch bereits im voraus für eure vorbildliche Hilfe.

Viele Grüße

SatzMitX

03.10.2008, 07:30

Jacques

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Hallo,

Deine Vermutung ist richtig, es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^{x_1} f(x)\ \mathrm{d}x = 36 \end{eqnarray*}$

(x0 und x1 sind die beiden Nullstellen der Funktion, wobei x0 die kleinere ist)

Jetzt musst Du nur noch das Integral berechnen (in Abhängigkeit von t), dann kannst Du t ermitteln.

Denke aber daran, dass es nur wegen der Form des Graphen so einfach ist. Wäre nicht t > 0 vorgegeben, hätte man den Betrag des Integrals bilden müssen.

03.10.2008, 15:45

SatzMitX

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Lösungsweg
Hallo Jaques (und auch die anderen),
ich habe deinen Tipp berücksichtigt und habe für t t=3 raus.
Nun würde ich gerne wissen, ob mein Lösungsweg in Ordnung ist.
Hier ist er:
int(-x²+t² dt)=36
F(t)=-x²*t+(1/3)*t³ ;F(t): Stammfunktion abhängig von t
Bestimmung der Nullstellen:
f(t)=-x²+t² ; f(t)=0
=> x²=tN² |+-( )^0.5 ;tN: Nullstelle
tN0= -x =a
tN1= +x =b

int f(t) dt=|F(b) - F(a)|=36
36=|-x²*x+(1/3)*x³-(-x²*(-x)+(1/3)*(-x)³)|
36=|-x³+(1/3)*x³-x³+(1/3)*x³|
36=|-2x³+(2/3)*x³|
36=|-(6/3)*x³+(2/3)*x³|
36=|-(4/3)*x³|
=>36=(4/3)*x³ |*(3/4)
36*(3/4)=x³
=>27=x³ |( )^1/3
=>x=3
=>t=3
Lösungsweg Ende.

Wenn ich die 3 einsetze um das Integral auszurechnen, dann erhalte ich als Nullstellen -3 und +3 und als Integralwert 36. Also müsste es stimmen mit t=3.
Nochmals vielen Dank für eure Hilfe.

Viele Grüße
SatzMitX

03.10.2008, 15:58

Jacques

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Du hast jetzt fälschlicherweise t als Funktionsvariable genommen, obwohl das nur ein Parameter ist. Wahrscheinlich wegen meiner Aussage mit dem „in Abhängigkeit von t“, oder? Tränen

Also die Funktionsvariable von f ist nach wie vor x. Mit der „Abhängigkeit“ meinte ich nur, dass Du beim Integrieren und so immer einen Term mit der Variablen t erhalten wirst.

Tut mir leid.

Aber Dein Rechenweg ist vom Prinzip her richtig, Du kannst eigentlich das Muster übernehmen und musst nur noch die entsprechenden Korrekturen machen.

Wenn Du Deine Korrektur nochmal hier aufschreibst, benutze nach Möglichkeit den Formeleditor. Augenzwinkern

03.10.2008, 16:17

SatzMitX

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Keine Ahnung
Hallo Jaques,
weiß überhaupt nicht mehr, wie ich jetzt vorgegangen sein sollte.
Ich habe für t t=3 raus und kann es anscheinend nur auf die Art und Weise, wie ich sie beschrieben habe.
Ich würde dich sonst darum bitten, deinen Lösungsweg hier rein zu stellen.
Vielen Dank.
SatzMitX

03.10.2008, 16:46

Jacques

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OK, in dem Fall spricht wohl nichts gegen den kompletten Rechenweg:

Also die Funktion war

$\begin{eqnarray*} f(x)= -x^2+t^2 \end{eqnarray*}$

(die Funktionsvariable ist x, t ist nur ein Parameter)

Die Aufgabenstellung gibt Folgendes vor:

$\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^{x_1} f(x)\ \mathrm{d}x = 36 \end{eqnarray*}$

(x0 ist die kleinere der beiden Nullstellen, x1 die größere)

Berechnung der Nullstellen x0 und x1:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \ \Longleftrightarrow\ -x^2+t^2 = 0 \ \Longleftrightarrow\ x = t\ \vee\ x = -t \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} x_0 = -t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = t \end{eqnarray*}$

Berechnen des Integrals:

$\begin{eqnarray*} F(x) = -\frac{1}{3}x^3 +t^2x + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-t}^{t} f(x)\ \mathrm{d}x = \left[ -\frac{1}{3}x^3 +t^2x \right]_{-t}^t = -\frac{1}{3}t^3 +t^2t - \left(-\frac{1}{3}(-t)^3 +t^2t \right) \end{eqnarray*}$

Der Rest ist klar, oder?

03.10.2008, 18:00

SatzMitX

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Alles klar soweit...
...Nur in deiner letzten Zeile müsste dies hier stehen, denn dann passt es wieder.:

SatzMitX

03.10.2008, 18:11

Jacques

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Recht hast Du. Freude

Und welche Endergebnis bekommst Du raus?

Du kannst Formeln übrigens direkt in den Beitrag schreiben:

code:
1:	[latex] ... [/latex]

(dann brauchst Du das nicht mühselig als Bild einbinden)

03.10.2008, 18:24

SatzMitX

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Endergebnis
Ich bekomme t=3 als Endergebnis raus.

Meinst du das mit den Formeln ungefähr so?:

$\begin{eqnarray*} \int_{-t}^{t}~-x²+t²~dx=36 \end{eqnarray*}$

Dazu muss ich aber sagen, dass ich keinesfalls Mühe hatte vorhin die Formel einzubinden, weil ich einfach deine letzte Zeile an den gewünschten Positionen leicht editieren konnte.
Trotzdem besten Dank.
Du bist mir eine sehr große Hilfe Jacques.

03.10.2008, 20:17

Jacques

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RE: Endergebnis

Zitat:

Original von SatzMitX

Ich bekomme t=3 als Endergebnis raus.

Ich auch.

Zitat:

Original von SatzMitX

Meinst du das mit den Formeln ungefähr so?:

$\begin{eqnarray*} \int_{-t}^{t}~-x²+t²~dx=36 \end{eqnarray*}$

Genau so.

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