Verknüpfung von 3 Spiegelungen

07.07.2006, 13:13	Assal	Auf diesen Beitrag antworten »
Verknüpfung von 3 Spiegelungen Hallo! Gegeben ist die Spiegelung Sa an der Geraden a mit der Gleichung x' = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ * x, die Spiegelung Sb an der Geraden b mit der Gleichung x' = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -0,8 & 0,6 \\ 0,6 & 0,8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ * x und die Spiegelung Sc an der Geraden c mit der Gleichung x' = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,6 & 0,8 \\ 0,8 & -0,6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ * x + $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . 1. Zeichne die Spiegelachsen a, b und c in ein Achsenkreuz. eigene Überlegung: Sa ist eine Spiegelung an der x1-Achse. Sb ist eine Spiegelung um alpha = 71,5° durch den Ursprung. Sc ist eine Spiegelung um alpha = 26,57° durch den Ursprung. FRAGE: Wie zeichne ich den Verschiebungsvektor? Warum muss er senkrecht zur Spiegelungsachse velaufen? Wäre nett, wenn mir jemand ein Tipp geben könnte! Denn die Aufgabe hat noch mehrere Unterpunkte, die ich aber nicht ohne 1. berechnen kann.... DANKE Assal
07.07.2006, 15:57	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verknüpfung von 3 Spiegelungen Alles soweit richtig bis auf die Formulierung 'Sc ist eine Spiegelung um alpha = 26,57° durch den Ursprung.' Das ist nur richtig ohne die Verschiebung. Mit der Verschiebung ists eine Spielung um eine Parallele dazu durch (1;-2). FRAGE: Wie zeichne ich den Verschiebungsvektor? Warum muss er senkrecht zur Spiegelungsachse velaufen? Du wählst einen beliebigen Punkt auf der zugehörigen Spiegelachse durch 00, zB 00 selbst und setzt 1/2*Verschiebungsvektor an. Das ergibt einen Punkt auf der endgültigen Spiegelachse, die eine Parallele zu derjenigen durch 00 darstellt. (Wäre der Verschiebungs- vektor nicht vertikal zur Spiegelachse würde er die Identität der Bilder auf der Spiegelachse zunichte machen.) Edit, hier muss ich mich verbessern. (Unsauber formuliert und nicht ganz richtig) Wäre der Verschiebungsvektor nicht vertikal zur Spiegelachse würde er, als 'Verlängerung' der vertikal wirkenden Matrixoperation, generell die Spiegelung zunichte machen weil Bild und Urbild stets auf ein und derselben Vertikalen zur Spiegelachse liegen müssen. Ein nicht vertikal zur Spiegelachse wirkendender Verschiebungsvektor würde das Bild aus dieser Vertikalen herausführen und der Gesamt- operation damit die Eigenschaft Spiegelung nehmen.
07.07.2006, 16:38	Assal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verknüpfung von 3 Spiegelungen Danke Poff!
07.07.2006, 17:28	Assal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verknüpfung von 3 Spiegelungen Die 2. Teilaufgabe lautet: Spiegele rein zeichnerisch das Dreieck ABC nacheinander an den Achsen a, b, c. A(1;0) B(3;1) und C(2;2) hab ich gemacht. 3. Berechne die Abbildungsgleichung der Verkettung Sc ° Sb ° Sa. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,6 & 0,8 \\ 0,8 & -0,6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,8 & 0,6 \\ 0,6 & -0,8 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} * x + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Bilde dann mit der erhaltenen Abbildung das Dreieck ABC aus 2. ab. Vergleiche deine Ergebnisse aus 2. mit den hier berechneten. Also: 3 Spiegelungen können durch eine ersetzt werden. Spiegelungen sind involutorisch. Danach ergibt die Verknüpfung von Sc mit Sb die Einheitsmatrix, oder? Leider stimmt meine Abbildungsgleichung nicht mit den Werten aus der Zeichnung überein. Ist die Gleichung falsch....?
07.07.2006, 18:52	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verknüpfung von 3 Spiegelungen Mach das mal so, dann klappts $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -0,8 & 0,6 \\ 0,6 & 0,8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0,6 & 0,8 \\ 0,8 & -0,6 \end{pmatrix}x +\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ obwohl, ich denke dein Fehler liegt im Verschiebungsvektor wenn die mittlere Spiegelung ein Schreibfehler ist. Außerdem bin ich mir nicht sicher, welche Schreibweise wie zu deuten ist.

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