Komplexe / Polynom ...

07.07.2006, 13:43	TOYO	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe / Polynom ... Hallo, ich hab ein massives Problem mit einer Aufgabe die da lautet: Von dem Polynom $\begin{eqnarray} p(z)=2z^{4}+4z^{3}+6z^{2}+4z+4 \end{eqnarray}$ ist die Nullstelle z1 = -1 + j bekannt. Bestimme die restlichen Nullstellen in C. mir ist schon klar, dass ich hier ne Polynomdivision aufstellen muss aber ich bin mir nicht sicher, wie ich dass anstellen soll. ist dieser ansatz denn richtig? $\begin{eqnarray} (2z^{4}+4z^{3}+6z^{2}+4z+4) : (z+1-j)=... \end{eqnarray}$ Ne kleine Anleitung wäre toll Danke für eure Hilfe schonmal im voraus mfg TOYO
07.07.2006, 13:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest gleich einen Schritt weitergehen: Komplexe Nullstellen von Polynomfunktionen mit reellen Koeffizienten treten immer paarweise konjugiert zueinander auf. D.h., im vorliegenden Fall muss auch -1-j eine Nullstelle sein, und du kannst gleich durch $\begin{eqnarray} (z-[-1+j])(z-[-1-j]) = (z+1)^2-j^2 = z^2+2z+2 \end{eqnarray}$ dividieren - macht erheblich weniger Stress.
07.07.2006, 14:06	TOYO	Auf diesen Beitrag antworten »
okay cool, an z²+2z+2 kann ich ja dann die abc- bzw. pq-Formel anwenden und bekomme dann nochmal 2 Lösungen raus. oder sind es vier?
07.07.2006, 14:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du mich falsch verstanden: $\begin{eqnarray} z^2+2z+2 \end{eqnarray}$ hat die beiden Nullstellen -1+j und -1-j, die du schon kennst! Jetzt erfolgt die Polynomdivision $\begin{eqnarray} (2z^{4}+4z^{3}+6z^{2}+4z+4) : (z^2+2z+2)=... \end{eqnarray}$ und dem enstehenden Quotienten-Polynom entnimmst du die restlichen Nullstellen.
07.07.2006, 14:51	TOYO	Auf diesen Beitrag antworten »
ja klar , blöd von mir... danke für die hilfe
07.07.2006, 15:07	TOYO	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo nochmal, ich hab das jetzt mal ausgerechnet. es gibt sozusagen 4 Nullstellen: z1= -1+j (Bekannte NS) z2= -1-j (der konjungiert komplexe teil von z1) z3= j z4= -j wobei sich z3 und z4 aus dem Ergebnis der Polynom-division bilden ( 2z²+2 -> z²=-1) stimmt das?
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07.07.2006, 15:11	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja!
07.07.2006, 17:08	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es gängig $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ als imaginäre Zahl anzusehen? Ist mir so noch nie untergekommen, deshalb die Frage. Oder kommt das von den Ingenieuren/Physikern etc. ? Gruß, mercany
07.07.2006, 18:12	der TOYO	Auf diesen Beitrag antworten »
ich studier informations und kommunikationstechnik im 2. semester an der fh giessen. unser prof meinte das in der mathematik zwar normalerweise mit i als imaginäre zahl gerechnet wird, bei uns aber in anlehnung zu elektrotechnik und anderen fächern j als imaginärteil benutzt wird. mfg TOYO
07.07.2006, 18:49	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke! Gruß, mercany

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