Quantoren u. Aussagenlogik

03.10.2008, 08:16

eierkopf1

Quantoren u. Aussagenlogik

Hallo!

Ich habe hier ein paar grundsätzliche Fragen zu Quantoren und dessen Negation:

Bsp:
"Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt gleichmäßig stetig, wenn
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 ~ \exists \delta > 0 ~ \forall x,y \in \mathbb R: \mid x-y \mid < \delta \to \mid f(x) - f(y) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$
gilt.

f ist nicht gleich stetig, wenn....."

Es geht nicht um die Stetigkeit selbst, sondern um die Negation von Quantoren.

Zuerst noch eine generelle Frage:

Wie drücke ich den angegebenen Term in Worten aus?
So?
"Für alle Epsilon größer Null gibt es ein Delta größer Null.............[keine Ahnung, wie ich das x,y ausdrücke], für die x minus y in Betragsstrichen kleiner Delta impliziert (oder wie drücke ich den Pfeil aus) f von x minus f von y in Betragsstrichen kleiner Epsilon gilt"

Hat wer eine Tipp?

Die Negation von diesem Term funktioniert so:

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 ~ \forall \delta > 0 ~ \exists x,y \in \mathbb R: \neg (\mid x-y \mid < \delta \to \mid f(x) - f(y) \mid < \epsilon) \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte die rechte Seite noch "verschönert werden":

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 ~ \forall \delta > 0 ~ \exists x,y \in \mathbb R: \neg (\mid x-y \mid < \delta) \to \neg (\mid f(x) - f(y) \mid < \epsilon) \end{eqnarray*}$

Es sollte keine Negation auf der rechten Seite stehen. Wie gehts jetzt weiter?

Danke schon mal für die Mühe

mfg

03.10.2008, 08:40

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Quantoren u. Aussagenlogik
Hallo,

Zitat:

Original von eierkopf1

Wie drücke ich den angegebenen Term in Worten aus?
So?
"Für alle Epsilon größer Null gibt es ein Delta größer Null.............[keine Ahnung, wie ich das x,y ausdrücke], für die x minus y in Betragsstrichen kleiner Delta impliziert (oder wie drücke ich den Pfeil aus) f von x minus f von y in Betragsstrichen kleiner Epsilon gilt"

Meinst Du die rein formale Übersetzung in Worte? Also wenn man etwas freier ist:

Für alle positiven epsilon gibt es ein positives delta, sodass für alle x und alle y aus R gilt: Wenn der Betrag von x minus y kleiner als delta ist, dann ist der Betrag von f(x) minus f(y) kleiner als epsilon.

Oder noch stärker auf den Inhalt bezogen:

Für alle positiven reellen Zahlen epsilon gibt es eine positive reelle Zahl delta, sodass für alle reellen Zahlen x und y gilt: Wenn der Abstand von x und y kleiner als delta ist, dann ist der Abstand von f(x) und f(y) kleiner als epsilon.

(also den Implikationspfeil kann man gut als „wenn ..., dann ...“ lesen)

Zitat:

Original von eierkopf1

Hat wer eine Tipp?

Die Negation von diesem Term funktioniert so:

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 ~ \forall \delta > 0 ~ \exists x,y \in \mathbb R: \neg (\mid x-y \mid < \delta \to \mid f(x) - f(y) \mid < \epsilon) \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte die rechte Seite noch "verschönert werden":

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 ~ \forall \delta > 0 ~ \exists x,y \in \mathbb R: \neg (\mid x-y \mid < \delta) \to \neg (\mid f(x) - f(y) \mid < \epsilon) \end{eqnarray*}$

Es sollte keine Negation auf der rechten Seite stehen. Wie gehts jetzt weiter?

Die Implikation ist nicht richtig negiert. Es gilt

$\begin{eqnarray*} \neg(A \rightarrow B) \leftrightarrow A \wedge \neg B \end{eqnarray*}$

Und eine Aussage der Art a < b negiert man einfach so:

$\begin{eqnarray*} \neg(a < b) \ \leftrightarrow \ a \geq b \end{eqnarray*}$

03.10.2008, 14:46

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Quantoren u. Aussagenlogik
Danke für die Antwort!

Das hat mir sehr viel weiter geholfen smile

Zur Implikation:

Ich meinte natürlich:

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 ~ \forall \delta > 0 ~ \exists x,y \in \mathbb R: \neg( \neg (\mid f(x) - f(y) \mid < \epsilon) \to \neg (\mid x-y \mid < \delta)) \end{eqnarray*}$

Aber das bringt mich dann auch nicht weiter, oder?

Aber mit deinem Tipp funktioniert es:

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 ~ \forall \delta > 0 ~ \exists x,y \in \mathbb R: \mid x-y \mid < \delta \land \neg (\mid f(x) - f(y) \mid < \epsilon) \end{eqnarray*}$

Brauch ich nach der Negation überhaupt die Klammern?

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 ~ \forall \delta > 0 ~ \exists x,y \in \mathbb R: \mid x-y \mid < \delta \land \mid f(x) - f(y) \mid \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

Sollte so stimmen, oder?

Noch eine generelle Frage:

Kann/Soll/Muss ich zwischen den Quantoren Doppelpunkte machen zB so:

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 : \forall \delta > 0 : \exists x,y \in \mathbb R: \mid x-y \mid < \delta \land \mid f(x) - f(y) \mid \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

mfg

03.10.2008, 15:35

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Quantoren u. Aussagenlogik

Zitat:

Original von eierkopf1

Zur Implikation:

Ich meinte natürlich:

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 ~ \forall \delta > 0 ~ \exists x,y \in \mathbb R: \neg( \neg (\mid f(x) - f(y) \mid < \epsilon) \to \neg (\mid x-y \mid < \delta)) \end{eqnarray*}$

Aber das bringt mich dann auch nicht weiter, oder?

Nein, das ist einfach nicht die korrekte Negation.

Zitat:

Original von eierkopf1

Brauch ich nach der Negation überhaupt die Klammern?

Nur bei zusammen gesetzten Aussagen, also hier nicht.

Zitat:

Original von eierkopf1

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 ~ \forall \delta > 0 ~ \exists x,y \in \mathbb R: \mid x-y \mid < \delta \land \mid f(x) - f(y) \mid \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

Sollte so stimmen, oder?

Ich sehe keinen Fehler. Aber warte noch ab, ob jemand anderes was dazu schreibt, ich bin auf dem Gebiet nur Laie.

Zitat:

Original von eierkopf1

Noch eine generelle Frage:

Kann/Soll/Muss ich zwischen den Quantoren Doppelpunkte machen zB so:

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 : \forall \delta > 0 : \exists x,y \in \mathbb R: \mid x-y \mid < \delta \land \mid f(x) - f(y) \mid \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

Nein, der Doppelpunkt muss zwischen den Quantoren und dem Prädikat (?) stehen, also wie Du es vorher geschrieben hast.

03.10.2008, 15:58

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Quantoren u. Aussagenlogik
Danke für deine Mühe Freude

Vielleicht weiß jemand, noch dazu was.

Neue Frage »

Antworten »

Quantoren u. Aussagenlogik

Verwandte Themen