Eindeutige Zerlegung

03.10.2008, 12:08

Romaxx

Eindeutige Zerlegung

Hallo,

was unterscheidet eine Zerlegung in irreduzible Faktoren von einer eindeutigen Zerlegung?

Mit geht es grundlegend um:

So wie ich die Definition verstehe, ist ein Element aus der Einheitengruppe noch zerlegbar, aber existiert eine eindeutige Zerlegung dieser Elemente?

Scriptausschnitt ist angehängt.

[attach]8752[/attach]

03.10.2008, 12:12

kiste

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Nein den es ist ja eine Gruppe. Z.b. in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \epsilon = 1 \end{eqnarray*}$ kannst du auch schreiben $\begin{eqnarray*} \epsilon = -1 \cdot -1 \cdot 1 \end{eqnarray*}$ oder irgendwie sowas Augenzwinkern

03.10.2008, 12:23

Romaxx

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Ja, nur gegen was in der Definition der eindeutigen Zerlegung verstößt es mit deinem Beispiel. Das seh ich irgendwie nicht.

03.10.2008, 12:27

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von kiste
$\begin{eqnarray*} \epsilon = -1 \cdot -1 \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Schon mal etwas von Klammern gehört?! ; ) *sehr verwundert ist*

03.10.2008, 12:34

kiste

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Gegen was soll es verstossen? Weil es ne Gruppe ist kann man beliebig viele Elemente dranmult. damit das ursprüngliche rauskommt Augenzwinkern

Wichtig ist doch nur:
Zu fester Wahl von $\begin{eqnarray*} \pi_1,\ldots,\pi_r \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ eindeutig. Ändert man jetzt bei $\begin{eqnarray*} a = \varepsilon \cdot \pi_1 \cdot \ldots \cdot \pi_r \end{eqnarray*}$ einen Faktor $\begin{eqnarray*} \pi_i \end{eqnarray*}$ um, so hat er sich nur um eine Einheit verändert.

@MSS
Ich denke jeder hat verstanden was ich gemeint habe. Für die (korrekten) Klammern war ich zu faul Augenzwinkern

03.10.2008, 12:38

Urza

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Zitat:

Original von kiste
Nein den es ist ja eine Gruppe. Z.b. in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \epsilon = 1 \end{eqnarray*}$ kannst du auch schreiben $\begin{eqnarray*} \epsilon = -1 \cdot -1 \cdot 1 \end{eqnarray*}$ oder irgendwie sowas Augenzwinkern

Nein, für Einheiten existiert nach der angegebenen (!) Definition immer eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Elemente. Denn irreduzible Elemente sind immer Nichteinheiten und eine Einheit lässt sich nie als Produkt einer Einheit mit irgendwelchen Nichteinheiten schreiben. (d.h. es muss bei jeder Darstellung das r in der Definition gleich 0 sein)

03.10.2008, 12:43

kiste

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Hab ich nirgends dagegen widersprochen. Die Frage war doch jene ob man, sobald man eine Zerlegung hat, die Einheiten auch noch eindeutig zerlegen kann. Und dagegen hab ich widersprochen.

03.10.2008, 13:05

Romaxx

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Nun nocheinmal.

Auch auf die Gefahr hin, dass andere jetzt denken " oh man, das habe ich doch eben gesagt".

Hab ich ein Element aus der Einheitengruppe, sagen wir mal die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist nach obiger Defintion zerlegbar, indem ich $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ setze und mein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist.

@Kiste: Ich sehe, das sich mit deinem Beispiel, die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ auch noch anders dargstellt werden kann, aber ich sehe nicht, warum es keine eindeutige Zerlegung der $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ geben soll, im Sinne der Defintion von oben.

Kannst du mir vielleicht noch ein Beispiel geben, oder einen anderen Ansatz wählen, dass mir das beuwsst, wird, ich sehe es nämlich wirklich nicht.
Ich denke in deinem vorletzten Post stecken Informationen, die ich noch nicht ganz zusammenreimen kann.

03.10.2008, 13:13

kiste

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Nehmen wir mal einen (faktoriellen) Ring mit ein paar mehr Einheiten.
Betrachten wir also $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 1 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ .
Die Einheitengruppe ist dann natürlich $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \mathrm e \cdot 4 \cdot \frac{2}{\mathrm e} \cdot \frac 1 8 \end{eqnarray*}$ , genauso gut aber auch $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 5 \cdot \frac 1 5 \end{eqnarray*}$ .

D.h. die Anzahl der Faktoren kann varieren. Nehmen wir mal an du würdest jetzt sagen dass man dann ja mit *1 auffüllen kann. Dann ist aber trotzdem die Anzahl der Faktoren nicht eindeutig da man ja 2 Faktoren zusammenziehen kann.

Keine Ahnung wie man erklären soll das eine Definition so Sinn macht, ich hoffe ein Argument von oben reicht aus Augenzwinkern

03.10.2008, 13:17

Romaxx

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Okay, danke ersteinmal. Ich muss jetzt weg, ich werde mir deinen Post heute abend anschauen.

03.10.2008, 13:24

Urza

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Ich merke dann nochmal an, nur damit Roman nichts missversteht: Worüber kiste redet, ist eine 'Zerlegung' (Schreibweise) einer Einheit als ein Produkt von Einheiten. Das hat nichts mit den Zerlegungsbegriffen zu tun, die Roman im Anhang seines Ausgangspostings stehen hat. In Bezug auf die Definitionen, die dort vorkommen, gilt in Bezug auf Einheiten das, was ich vorhin sagte.

03.10.2008, 18:37

Romaxx

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Zitat:

Ich merke dann nochmal an, nur damit Romaxx nichts missversteht: Worüber kiste redet, ist eine 'Zerlegung' (Schreibweise) einer Einheit als ein Produkt von Einheiten. Das hat nichts mit den Zerlegungsbegriffen zu tun, die Romaxx im Anhang seines Ausgangspostings stehen hat. In Bezug auf die Definitionen, die dort vorkommen, gilt in Bezug auf Einheiten das, was ich vorhin sagte.

@Kiste: Kannst du dazu Stellung nehmen? Hast du meine Frage so vielleicht missverstanden? Ich beziehe mich mit der eindeutigen Zerlegung auf obige Definition. Das eine Einheit grundsätzlich als Produkt verschieden Einheiten dargestellt werden kann ist mir klar. Und auch, dass diese nicht eindeutig ist.

@Urza: Mir geht es hier auch um die Definition eines faktoriellen Rings.
Unser Script gibt mir folgende Definition :

14.2-21 Definition: Ein Integritätsbereich heißt faktoriell (oder UFD=unique factorisation domain), falls jedes Element ungleich 0 von R eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt.

Nun frage ich mich, warum auf Wikipedia Einheiten ausgeschlossen werden.

Hier

Das hat noch einen weitern Hintergrund, aber dabei will ichs jetzt erstmal belassen.

03.10.2008, 19:45

kiste

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Was willst du den dann wissen?

Zitat:

So wie ich die Definition verstehe, ist ein Element aus der Einheitengruppe noch zerlegbar, aber existiert eine eindeutige Zerlegung dieser Elemente?

Eine Einheit kann nicht in nicht-Einheiten zerlegt werden, die Zerlegung in Einheiten ist, wie du jetzt auch geschrieben hast, nicht eindeutig.

Wenn du nur wissen willst warum Einheiten bei der Definition eines faktoriellen Ringes ausgelassen werden dann denke ich ist das der Fall da man ja in jedem Ring eine Einheit in die Form bringen kann(wie von Urza erwähnt r=0)

03.10.2008, 19:46

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Hallo,
@Roman: Kannst du nochmal genau äußern, was du überhaupt genau willst?

Zu den Thema mit Einheiten.

Eine Einheit lässt sich nicht in irreduzible Faktoren zerlegen, da es ansonsten keine Einheit wäre.
Deswegen ist es egal, ob man nun Einheiten in der Definition ausschließt oder nicht. Nur muss man aufpassen:
Wenn Einheiten erlaubt sind, dann muss der Satz/Def lauten:
... wenn a eine Darstellung $\begin{eqnarray*} a=\varepsilon\, q_1\, q_2 \dots q_r \end{eqnarray*}$ besitzt und q_i irreduzibel ist, wobei $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$

Hier ist wichtig, dass r=0 sein kann, da man ja, wie gesagt, Einheiten nicht in irreduzible Faktoren zerlegen kann.

Aber genauso gut kann man Einheiten ausschließen, die Begrifflichkeit bleibt exakt die selbe.
Persönlich würde ich die Variante mit ausgeschlossenen Einheiten bevorzugen, denn
"falls jedes Element von R eine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt" würde für mich bedeuten, dass in der Zerlegung min. ein irreduzibles Element vorkommt, was aber nicht der Fall bei Einheiten ist.
Aber dies ist eben wieder die Frage, wie man eine Zerlegung in irred. Elemente definiert.

Wenn min. ein irred. Faktor auftauchen muss: Einheiten müssen ausgeschlossen werden
Wenn auch 0 irred. Faktoren auftauchen können: Einheiten können, müssen aber nicht, ausgeschlossen werden.

Hoffe das hilft weiter.

03.10.2008, 20:02

Romaxx

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Danke an dich Kiste für Bemühungen.
Mit der ausführlichen Erklärung von 42 hat es nun geklappt.
Meine Gedanken sind wieder wohlgeordnet Big Laugh

.
Großen Dank an Dich 42. Freude

.

Edit: Und natürlich auch ein Dank an Urza.

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