[User-Tutorial] Stetige, stückweise lineare Funktionen mit dem Board-Plotter ausgeben

03.10.2008, 12:15

[User-Tutorial] Stetige, stückweise lineare Funktionen mit dem Board-Plotter ausgeben

Auf eine PN-Anfrage hin äußere ich mich jetzt doch mal zu folgendem Problem, da es schon in diversen Threads hier (indirekt oder direkt) aufgetaucht ist:

Zitat:

Wie kann man eine stückweise lineare, stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ in geeigneter Weise mit den beschränkten Möglichkeiten des hiesigen Plotters darstellen?

Wir betrachten also eine Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} a_0x+b_0 & \;\mbox{für}\; x\leq x_1\\ a_1x+b_1 & \;\mbox{für}\; x_1\leq x\leq x_2\\ \ldots & \ldots\\ a_{n-1}x+b_{n-1} & \;\mbox{für}\; x_{n-1}\leq x\leq x_n\\ a_nx+b_n & \;\mbox{für}\; x\geq x_n \end{cases} \end{eqnarray*}$

mit den Teilungs- oder auch Knickpunkten $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 < \ldots < x_n \end{eqnarray*}$ .

Ich behaupte jetzt, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x) = \sum_{k=1}^n c_k |x-x_k| ~ + ~ c_{n+1}x + c_{n+2} \end{eqnarray*}$

bei geeigneter Wahl der Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_1,\ldots,c_{n+2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ übereinstimmt. Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist stückweise linear auf $\begin{eqnarray*} (-\infty,x_1] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} [x_k,x_{k+1}] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} [x_n,\infty) \end{eqnarray*}$ , genau wie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Bringen wir nun die jeweiligen Anstiege in diesen $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Intervallen zur Übereinstimmung:

Dazu muss

$\begin{eqnarray*} a_m = \sum_{k=1}^m c_k ~ - ~ \sum_{k=m+1}^n c_k ~ + ~ c_{n+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m=0,1,\ldots,n \end{eqnarray*}$

erfüllt sein. Für $\begin{eqnarray*} 1\leq m\leq n \end{eqnarray*}$ ergibt die Subtraktion

$\begin{eqnarray*} a_m-a_{m-1} = 2c_m \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} c_m = \frac{a_m-a_{m-1}}{2} \end{eqnarray*}$ ,

während $\begin{eqnarray*} a_0+a_n = 2c_{n+1} \end{eqnarray*}$ schließlich $\begin{eqnarray*} c_{n+1} = \frac{a_0+a_n}{2} \end{eqnarray*}$ ergibt.

Übrig ist schlussendlich nur noch das Verschiebeglied $\begin{eqnarray*} c_{n+2} \end{eqnarray*}$ , was sich durch Anpassung irgendeines Funktionswertes ermitteln lässt.

----------------------------------------

Beispiel aus Tread Integral.. problem bei der aufgabenstellung :

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}x +1 & \;\mbox{für}\; 0 \leq x < 2 \\ 2 & \;\mbox{für}\; 2 \leq x < 4 \\ \frac{1}{2}x & \;\mbox{für}\; 4 \leq x \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Stetigkeit an den Stellen x=2 und x=4 ist schnell überprüft, also ist diese Funktion ein passendes Beispiel.

Nach obigen Überlegungen ist die Darstellung

$\begin{eqnarray*} f(x) = c_1|x-2| + c_2|x-4| + c_3 x + c_4 \end{eqnarray*}$

möglich, mit

$\begin{eqnarray*} c_1 = \frac{a_1-a_0}{2} = -\frac{1}{4},\quad c_2 = \frac{a_2-a_1}{2} = \frac{1}{4},\quad c_3 = \frac{a_0+a_2}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{1}{4}|x-2| + \frac{1}{4}|x-4| + \frac{1}{2} x + c_4 \end{eqnarray*}$

Ein Abgleich mit beispielsweise $\begin{eqnarray*} f(2)=2 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} 2 = \frac{3}{2}+c_4 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} c_4 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

----------------------------------------

Eine Anschlussfrage könnte sein: Was ist, wenn die Stetigkeit nicht gegeben ist? D.h., wenn es um stückweise lineare Funktionen ohne diese Forderung des stetigen Anschlusses geht.

In dem Fall können im Ansatz $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zuätzliche Terme der Form $\begin{eqnarray*} d_k\operatorname{sgn}(x-x_k) \end{eqnarray*}$ mit der Signumfunktion $\begin{eqnarray*} \operatorname{sgn} \end{eqnarray*}$ helfen, die ebenfalls im Repertoire des Plotters verfügbar ist. Aber darauf möchte ich nicht näher eingehen - besser dann gleich bezogen auf den allgemeineren Fall einer stückweise gegebenen Funktion mit beliebigen auch nichtlinearen, aber plottbaren Teilstücken.

EDIT: Link verunglückt - korrigiert.

19.02.2012, 09:49

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Teilstück eines Funktionsgraphen ausgeben
Ich habe noch nicht herausgefunden, wie man nur ein Teilstück eines Graphen darstellt.

Angenommen, ich möchte die Funktion x^2+2*x+1 im Bereich $\begin{eqnarray*} 1\leq x\leq 3 \end{eqnarray*}$ darstellen, eine andere Funktion gleichzeitig jedoch im Bereich $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 4 \end{eqnarray*}$ .

Wie setze ich die Grenzen für die erste Funktion, was muss ich also dem Plotter sagen, damit er mir nur den gewünschten Ausschnitt darstellt?

19.02.2012, 15:44

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: [User-Tutorial] Stetige, stückweise lineare Funktionen mit dem Board-Plotter ausgeben

Zitat:

Original von AD

Zitat:

Wie kann man eine stückweise lineare, stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ in geeigneter Weise mit den beschränkten Möglichkeiten des hiesigen Plotters darstellen?

19.02.2012, 16:00

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: [User-Tutorial] Stetige, stückweise lineare Funktionen mit dem Board-Plotter ausgeben
Ich habe es gelesen, bin aber kein bisschen schlauer geworden.

Was gebe ich wo ein? verwirrt

Wird die Eingrenzung bei f(x) eingegeben?
Und was hat es mit dem Parameterbereich auf sich?

edit: Mein Beispiel sollte dann so aussehen:
[attach]23191[/attach]
(Das ist jetzt mit Paint hingefummelt. Augenzwinkern

)

19.02.2012, 16:08

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: [User-Tutorial] Stetige, stückweise lineare Funktionen mit dem Board-Plotter ausgeben
Ich meinte: AD hat nur eine Umformulierungen einer Funktion bestehend aus linearen Funtkionen vorgeschlagen. Es gibt keine Oberfläche zum Teilweisen Plotten. Deine Funktion ist z.B. quadratisch.

19.02.2012, 16:14

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: [User-Tutorial] Stetige, stückweise lineare Funktionen mit dem Board-Plotter ausgeben
Alles klar, danke. Mit Zunge

20.02.2012, 11:48

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: [User-Tutorial] Stetige, stückweise lineare Funktionen mit dem Board-Plotter ausgeben
Hi sulo,

AD hat am Ende ja noch den Hinweis mit der Signumfunktion gegeben.

So hat $\begin{eqnarray*} 2/({\rm sgn}(x-d)+1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x> d \end{eqnarray*}$ den Wert 1 und ist für $\begin{eqnarray*} x<d \end{eqnarray*}$ nicht definiert.
Das kann man dann so nutzen:

code:
1:	(x^2+2x+1)2/(sgn(x-1)+1)2/(sgn(3-x)+1),-10x^2+46*x-32

Gruß,
Rubiksilat.
Wink

20.02.2012, 12:50

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: [User-Tutorial] Stetige, stückweise lineare Funktionen mit dem Board-Plotter ausgeben
Danke, das ist genau das, was ich gesucht und nicht gefunden habe. Freude

Werde ich gleich bei nächster Gelegenheit mal ausprobieren. smile

Neue Frage »

Antworten »

[User-Tutorial] Stetige, stückweise lineare Funktionen mit dem Board-Plotter ausgeben

Verwandte Themen