nochmal DGL 1. Ord.

07.07.2006, 18:32

draufunddran

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nochmal DGL 1. Ord.

hi Jungs,

hab hier nochmal eine DGL 1. Ord. gemacht und wollt sie jetzt mit meinem Ti-92 plus testen ob sie stimmt, aber der spuckt mir die LSG ned aus naja des sollte ja kein problem sein, ich hab hier ja profies am start.

DGL: $\begin{eqnarray*} y'=1-(y-x)^2 \end{eqnarray*}$

anfangsbedingungen: x0=0 ; y0=1

als LSG hab ich raus $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ kann das sein? sieht mir irgendwie zu einfach aus!!

Achja kennt jemand ein gutes program das DGL's lösen kann oder ne gute Seite oder was auch immer???

greetz draufunddran

07.07.2006, 19:21

Abakus

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RE: nochmal DGL 1. Ord.

Zitat:

Original von draufunddran
als LSG hab ich raus $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ kann das sein? sieht mir irgendwie zu einfach aus!!

$\begin{eqnarray*} y = x \end{eqnarray*}$ ist natürlich eine Lösung der DGL, nur erfüllt diese nicht deine Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(0) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Du wirst also noch etwas rechnen müssen.

Grüße Abakus smile

smile

10.07.2006, 12:30

draufunddran

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so nach einer kurzen auszeit hab ich jetzt nochmal nachgerechnet und jetzt aber was ganz anderes rausbekommen und das taschenrechnerproblem hab ich immernochnicht gelöst.

stimmt diese lösung jetzt???

$\begin{eqnarray*} y=\frac{x^2+2}{x} \end{eqnarray*}$

greetz drauf

10.07.2006, 12:48

klarsoweit

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Machen wir hier eigentlich munteres Ratespielen? verwirrt

verwirrt

1. kannst du deine Lösung selbst überprüfen
2. sollte deine Lösung für x=0 definiert sein, wenn an der Stelle ein Anfangswert vorgegeben ist.

10.07.2006, 13:24

draufunddran

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arg an der aufgabe verzweifel ich noch.... ja überprüft hab ich die schon hundert mal, aber jedesmal kommt was anderes raus..... Hammer

Hammer

ich poste nacher mal den rechen weg mal schaun ob jemand von euch den fehler entdeckt...

10.07.2006, 13:26

AD

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Hier ist doch bei der Struktur rechts die Substitution $\begin{eqnarray*} z=y-x \end{eqnarray*}$ naheliegend. Und dann hast du für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ eine DGL mit trennbaren Variablen vorliegen.

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10.07.2006, 13:53

draufunddran

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genau so hab ich es gemacht..... traurig

traurig

10.07.2006, 14:06

AD

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Offenbar nicht richtig. Poste doch deinen Rechenweg!

10.07.2006, 14:59

draufunddran

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also

y'=1-(y-x)^2

subst.: u=y-x

--> f(u)=1-u^2

also ich hab jetzt in so ne fertige formel eingesetz wo dann rauskommt

u'=-u^2

aber ich hab keine ahnung was ich da gemacht hab bzw. woher die formel kommt....

kann mir des einer erklären was ich da hätte tun müssen ohne die formel zu benutzen??

danke

10.07.2006, 15:05

AD

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Keine Ahnung, von welchen fertigen Formeln du da redest, aber die Substitution ergibt tatsächlich $\begin{eqnarray*} u'=-u^2 \end{eqnarray*}$ . Und das zu lösen, geht sehr einfach mit Trennung de Variablen: $\begin{eqnarray*} -\frac{\mathrm{d}u}{u^2} = \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ , auf beiden Seiten integriert

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} = x+C \end{eqnarray*}$

unter Einbeziehung einer Integrationskonstanten $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Damit hast du $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und kannst rücksubstituieren. Und das geeignete $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ kriegst du dann aus deiner Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$ raus.

10.07.2006, 15:12

draufunddran

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die Formel ist aus dem Papula aber ich weis ned wie des wirklich geht kannst du mir des erklären.

Also wie ich auch f(u) komme ist klar aber wie kommt man dann auf u'??

10.07.2006, 15:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von draufunddran
subst.: u=y-x

Leite doch mal u nach x ab. Der Rest ergibt sich doch von selbst.

10.07.2006, 15:34

draufunddran

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also

u=y-x

dann müsste u'=-1 sein oder?? und was jetzt?? ich hab keinen plan

10.07.2006, 15:42

klarsoweit

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Quatsch!

unglücklich

Was ist denn y nach x abgeleitet?

10.07.2006, 15:47

draufunddran

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ach shit des seh ich immer als ne konstante an aber is es ja ned.....grrrrr

also

u'=y'-1

->y'=u'+1 oder?? und des muss ich jetzt in die funktion f(u) einsetzen oder und nach u' auflösen. Ach mach ich einfach mal schaun was raus kommt...

u'+1=1-u^2
u'=1-u^2-1=-u^2

juhuuuuuuuu es funktioniert... und jetzt einfach mit der funktion u'=-u^2 trennung der variablen oder??

10.07.2006, 15:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von draufunddran
u'=y'-1

->y'=u'+1 oder??

Ja. Aber warum dieser Umweg? Du kannst doch direkt das y' in u'=y'-1 ersetzen.
Alles andere zur weiteren Rechnung war ja schon gesagt.

10.07.2006, 15:55

draufunddran

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ja ok stimmt. in dem fall zwar kein groser umweg aber ich werds mir für die zukunft merken.... danke dir!!!

10.07.2006, 16:17

draufunddran

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achja aber mein rechen fehler ham wir immernoch nicht egal dann mach ma mal weiter...

u'=-u²

-> $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ \frac{du}{-u^2} ~dx=\int_{}^{}~1~dx \end{eqnarray*}$

ergebnis wär dann: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} = x+C \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{x}+k \end{eqnarray*}$

und jetzt einsetzten:

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{1}{0}+k \Rightarrow k=1 \end{eqnarray*}$

aber des kann ja ned stimmen oder???

10.07.2006, 16:18

AD

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Zitat:

Original von draufunddran
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} = x+C \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{x}+k \end{eqnarray*}$

Ähemm, ***räusper*** - was ist denn das für eine Umformung??? geschockt

geschockt

10.07.2006, 16:35

draufunddran

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ja ja hab ich auch grad eben bemerkt...ich könnte ja nur schreiben für 1/C =K oder so...

also meine neue lösung ist
$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{x+1}+x \end{eqnarray*}$

müsste jetzt so stimmen oder??

10.07.2006, 16:37

AD

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Zitat:

Original von draufunddran
ja ja hab ich auch grad eben bemerkt...ich könnte ja nur schreiben für 1/C =K oder so...

Auch das wäre falsch.

Zitat:

Original von draufunddran
also meine neue lösung ist
$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{x+1}+x \end{eqnarray*}$

müsste jetzt so stimmen oder??

Ja, so klappt es. Freude

Freude

10.07.2006, 16:44

draufunddran

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is des nicht des selbe wenn ich schreibe

y=1/x +1/C

und

y=1/x + K

wenn ich dann jetzt für y=1 und x=0 die konstanten ausrechne kommt beides mal des selbe raus als endergebnis mein ich...

10.07.2006, 16:52

AD

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Zitat:

Original von draufunddran
y=1/x +1/C

und

y=1/x + K

Das schon - deine Umformung oben war aber

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+C} \stackrel{?}{=} \frac{1}{x} + \frac{1}{C} \end{eqnarray*}$

und die ist grottenfalsch.

10.07.2006, 16:56

draufunddran

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ja des is klar!!! war mein fehler...

smile

smile

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