Ideale allgemein

03.10.2008, 12:57

Jay

Ideale allgemein

Hallo!

Ich gehe gerad meinen ganzen Algebra Stoff durch und bekomme einfach keine Vorstellung von Idealen.
Ich weiß, wie die definiert sind, kann es aber einfach nicht anwenden.

Wie sieht es zum beispiel bei der Augabe aus?

R sein ein kommutativer Ring mit 1. Sind foldende Teilmengen Ideale? 8nx alternativ n.x steht für x+x+x+...+x)

1) {x in |R: es gibt n in |N, n>0 mit nx=0}
(x in |R soll x Element der reellen Zahlen darstellen)
2){x in |R: nx=0} für ein festes n>0
3){x in |R: es existiert ein yx=ny} für ein festes n>0 ( die durch n teilbaren Ringelemente)
4){x in |R: für alle n>0 existiert ein y mit x=ny} (die unendlich teilbaren Ringelemnete)

Es wäre nett, wenn mir das einer mal Idiotensicher erklären könnte.
Lg Jayjay

03.10.2008, 14:41

system-agent

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Die Frage ist doch eher, was verstehst du nicht an einem Ideal, wenn du die Definition kennst. Bei deinen Beispielen musst du eben jedes mit der Definition darauf abklopfen ob es eines ist oder nicht.

Was die Vorstellung anlangt, das solltest du lieber vergessen, denn eine Vorstellung ist immer gefährlich smile

Merke dir liebe die Definition und arbeite ein bischen mit Idealen, dann merkst du für was das gut ist.

03.10.2008, 15:57

Jay

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2) dürfte also kein Ideal sein, denn
wenn ich ein Element aus R (das ist a) nehme und das mit x multipliziere, dann brauche ich doch ein anderes n als in der Teilmenge geben, damit ax*n´= 0 ist, oder.
n darf also nicht fest sein, deshalb ist 1 ein Ideal.

Oder bin ich da auf dem Holzweg?

LG Jayjay

03.10.2008, 17:00

system-agent

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Ich verstehe nicht so ganz was du damit sagen willst.
Aber sehen wir doch zuerst mal welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ tatsächlich in dieser Menge sind.
Ich denke dass $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gemeint ist, aber das ist nicht so wichtig. Jedenfalls ist $\begin{eqnarray*} n\neq0 \end{eqnarray*}$ . Also für welche $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung $\begin{eqnarray*} nx=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt?
Alle diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sind dann in deiner Menge, nennen wir sie mal $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .
Um ein Ideal zu sein, muss $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ [unter Anderem] eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,+) \end{eqnarray*}$ sein. Ist es das?

03.10.2008, 18:50

Jay

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Na dann muss x also ein Nullteiler sein.
Wie sieht das denn aus?

Ich habe woanders gelesen, dass man sich das für die reellen Zahlen wie folgt definieren kann: f(x)=0 wenn x rational, sonst f(x)=1
g(x)=1 wenn x rational, sonst g(x)=0
Aber warum muss man denn da auf Abbildungen zurückgreifen?
Von der Logik her müsste doch dann x=0 damit nx=0 mit n>0.

Aber wie kann ich das nun für die Aufgabe verwerten?

03.10.2008, 19:06

system-agent

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Mir scheint du hast nicht verstanden um was es geht.

Du hast [mit meinen obigen Bezeichnungen] $\begin{eqnarray*} M\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ wobei man $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ als Ring betrachtet und du möchtest nun sehen, ob $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Ideal in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.
Sicher, $\begin{eqnarray*} M=\{0\} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Körper ist und als solcher gerade Nullteilerfrei !
Nun begründe wieso $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Ideal ist [einfach die Definition nutzen].

03.10.2008, 20:36

Jay

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Achso.

Also nehme ich mir x aus I und y aus I. x+y= 0+0= 0 also in I.
Und egal welche reelle Zahl r ich mit x multipliziere, ergibt das wieder 0. Also r*x in I.
Das habe ich jetzt verstanden.

Dann wäre 1 und 2 richtig?!?
Es ist doch dann egal, wie oft ich Null zu Null addiere. Ich erhalte immer Null. Egal ob die Anzahl der Nullen variabel oder fest ist. Also sind das Ideale.
Oder gibt es dafür irgendwelche speziellen Definitionen?

03.10.2008, 21:23

system-agent

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Zitat:

Original von Jay
Achso.

Also nehme ich mir x aus I und y aus I. x+y= 0+0= 0 also in I.
Und egal welche reelle Zahl r ich mit x multipliziere, ergibt das wieder 0. Also r*x in I.
Das habe ich jetzt verstanden.

Diese Begründung ist fast richtig. Es ist richtig die Tatsache mit deinem r. Aber die andere Bedingung für ein Ideal war, dass es eine Untergruppe der additiven Ringgruppe ist. Das ist aber klar, denn $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ ist die triviale Gruppe [additiv geschrieben] und damit immer Untergruppe.

Und ja, (1) und (2) sind Ideale.

Zitat:

Original von Jay
Oder gibt es dafür irgendwelche speziellen Definitionen?

Wofür?

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