Ableitung eines Betrages nach einem Vektor

07.07.2006, 23:47	pfnuesel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung eines Betrages nach einem Vektor Hallo Kann mir jemand erklären, wie ich auf folgende Gleichheit komme? $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial {\vec{x}}}\left\|\vec{x}\right\|=\frac{\vec{x}}{\left\|\vec{x}\right\|} \end{eqnarray}$ Sie kommt in meinem Skript vor, ich schaffe es aber nicht sie herzuleiten. Vielen Dank für eure Hilfe!
08.07.2006, 07:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt des runden $\begin{eqnarray} \partial \end{eqnarray}$ würde ich hier ein gerades $\begin{eqnarray} \mathrm{d} \end{eqnarray}$ erwarten. Ansonsten ist damit aber wohl gerade der Gradient der Funktion $\begin{eqnarray} f: \ \ \left( x_1 , x_2 , x_3 , \ldots , x_n \right) \mapsto \sqrt{x_1^{\, 2} + x_2^{\, 2} + x_3^{\, 2} + \ldots + x_n^{\, 2}} \end{eqnarray}$ gemeint. Die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}} = \frac{2x_1}{2 \sqrt{x_1^{\, 2} + x_2^{\, 2} + x_3^{\, 2} + \ldots + x_n^{\, 2}}} = \frac{1}{\left\| \vec{x} \right\|} \cdot x_1 \end{eqnarray}$ Und entsprechend mit den anderen Koordinaten. Zu einem Gradienten zusammengefügt ergibt sich deine Formel.
08.07.2006, 12:43	pfnuesel	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Leopold! Das sieht sehr logisch aus! Habe es über das Skalarprodukt versucht und bin zu keinem Ergebnis gekommen. Eine Frage bleibt aber noch: Kann ich denn eine Ableitung so umformen: $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial \vec{x}}=\frac{\partial f}{\partial x_{1}}+...+\frac{\partial f}{\partial x_{n}} \end{eqnarray}$ Also gilt: $\begin{eqnarray} \nabla f=\frac{\partial f}{\partial \vec{x}} \end{eqnarray}$ Die Schreibweise mit dem Vektor in der Ableitung ist mir nämlich nicht geläufig.

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