Fragen zum Begriff der Topologie |
03.10.2008, 16:02 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Fragen zum Begriff der Topologie hier mal die grundlegende Definition: Eine Topologie ist ein Mengensystem T bestehend aus Teilmengen („offene Mengen“ genannt) einer Grundmenge X, für die die folgenden Axiome erfüllt sind:
Eine Menge X zusammen mit einer Topologie T auf X heißt topologischer Raum (X,T). Dazu habe ich ein paar Verständnisfragen:
Ich hoffe meine Frage sind einigermaßen verständlich ich beschäftige mich erst seit kurzen damit und habe deshalb noch nicht sehr viel Ahnung. Gruß |
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03.10.2008, 16:17 | 42 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo, warum sollte die leere Menge enthalten? Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, also Teilmenge von R, aber sie ist kein Element von R. Zu deinem 1. Punkt: Schau dir doch die Definition von offenen Mengen an:
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03.10.2008, 16:50 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
1. wird durch die Definition von offenen Mengen aus der Analysis, die du ansprichst, zu einem topologischen Raum. Aber allgemein ist der Begriff offene Menge in einem topologischen Raum nicht äquivalent zu dem selben Begriff in einem metrischen Raum. Sprich die werden "einfach nur so genannt". 2. Auf jeder Menge kann man 2 triviale Topologien definieren: Bei der indiskreten Topologie sind nur die leere Menge und die Grundmenge offen. Bei der diskreten Topologie sind alle Teilmengen der Grundmenge offen. |
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04.10.2008, 08:53 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bedeutet offene, das jede endliche Teilmenge von X in der Topologie enthalten ist? Wenn die Menge ist und ich offen im Sinne der Analysis verwende, habe ich also ein speziellen tolologischen Raum. 2. Auf jeder Menge kann man 2 triviale Topologien definieren: Bei der indiskreten Topologie sind nur die leere Menge und die Grundmenge offen. Bei der diskreten Topologie sind alle Teilmengen der Grundmenge offen. Die "einfachste" Topologie wäre dann. Gibt es noch irgendetwas Wissenswertes über die Definition Topologie? Gruß |
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04.10.2008, 10:29 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Am besten gar nicht. Manchmal ist es aber hilfreich in (R, |.|) zu denken.
Nein.
Ja.
Eine Topologie ist ein System von Mengen (das obigen Axiomen genügt). Das hier ist also keine Topologie (da es kein System von Mengen ist)! |
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04.10.2008, 11:53 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay, habe ich mich unklar ausgedrückt. Also , dann ist meine Topologie Eine weitere Frage: Ich habe hier ein Aufgabe gefunden: Geben Sie alle möglichen Topologien auf der Menge an. Meine Lösung: Auf der Menge gibt es ist ein indiskrete Topologie: und ein diskrete Topolgie: , ich kenne nur noch die natürliche Topologie, aber die ist auf der Menge nicht gegeben. Dafür müsste z.B. die Menge , für sein. Oder? Wie würde auf Menge Y, die diskrete Topologie aussehen? Klar, und auch die Menge selber, kann ich dafür schreiben, ist enthalten. Aber wie schreibe ich alle restlichen Teilmengen auf? Sind ja unendlich viele offene Intervalle? Gruß |
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04.10.2008, 14:41 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ist der gewöhnliche Absolutbetrag.
Auch ist eine mögliche Topologie für . Es ist mühsam auf deine Beiträge zu antworten. Du solltest deine Fragen etwas besser strukturieren und Absätze machen. |
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04.10.2008, 16:31 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay, Entschuldigung! Ich versuche es nochmal! Fragestellung: Geben Sie alle möglichen Topologien auf der Menge an. Lösungsversuch: Gibt es noch weiter? Eine natürliche Topologie ist nicht gegeben, oder? Sie wäre aber für eine Menge: , für gegeben. Mit Ich hoffe es ist nun etwas verständlicher und du nimmst dir nochmal etwas Zeit um darüber zu schauen. Danke, Gruß |
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04.10.2008, 17:16 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein. Übrigens ist deine Klammersetzung fehlerhaft.
Dazu müsstest du "natürlich" erstmal definieren.
Das ist keine Topologie, außer es ist und dann ist es die indiskrete Topologie auf |R. |
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04.10.2008, 18:24 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Natürliche Topologie: Die natürliche Topolgie auf besteht aus den Vereinigungen von offenen Intervallen . Danke therisen für deine Hilfe, werde mich später noch mal mit einer anderen Aufgabe melden. |
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04.10.2008, 19:00 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Man nennt dies übrigens eine Basis in der Topologie. Es genügt auch zu fordern. Dann hat man eine abzählbare Basis. |
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