Fragen zum Begriff der Topologie

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zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zum Begriff der Topologie
Hallo,

hier mal die grundlegende Definition:

Eine Topologie ist ein Mengensystem T bestehend aus Teilmengen („offene Mengen“ genannt) einer Grundmenge X, für die die folgenden Axiome erfüllt sind:
  • Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
  • Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
  • Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.

Eine Menge X zusammen mit einer Topologie T auf X heißt topologischer Raum (X,T).

Dazu habe ich ein paar Verständnisfragen:

  • "(„offene Mengen“ genannt)", werde die Mengen nur offen genannt oder sind sie im Sinne der Analysis auch offen, also mit -Umgebung ...
  • Ich denke doch das für und das Mengensystem aus Teilmengen davon eine Topologie ist, also z.B die Teilmenge (4,5,6), aber diese Menge ist doch nicht offen? Und ist in auch die leere Menge enthalten? verwirrt
  • Wenn als Menge in frage kommt, dann gilt das auch für alle andern gängigen "Zahlenmenge", wie z.B ? Kann mir jemand ein Beispiel für eine einfach Menge geben, auf der keine Topologie erklärt ist?


Ich hoffe meine Frage sind einigermaßen verständlich ich beschäftige mich erst seit kurzen damit und habe deshalb noch nicht sehr viel Ahnung.

Gruß Wink
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
warum sollte die leere Menge enthalten? Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, also Teilmenge von R, aber sie ist kein Element von R.

Zu deinem 1. Punkt:
Schau dir doch die Definition von offenen Mengen an:
Zitat:
Sei (X,d) ein metrischer Raum und U eine Teilmenge von X. Man nennt U dann offen (bzgl. der von d induzierten Topologie), wenn gilt:

Für jedes x aus U gibt es eine reelle Zahl µ > 0, so dass für jeden Punkt y aus X gilt: Aus d(x,y) < µ folgt, dass y in U liegt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

1. wird durch die Definition von offenen Mengen aus der Analysis, die du ansprichst, zu einem topologischen Raum. Aber allgemein ist der Begriff offene Menge in einem topologischen Raum nicht äquivalent zu dem selben Begriff in einem metrischen Raum. Sprich die werden "einfach nur so genannt".

2. Auf jeder Menge kann man 2 triviale Topologien definieren:
Bei der indiskreten Topologie sind nur die leere Menge und die Grundmenge offen.
Bei der diskreten Topologie sind alle Teilmengen der Grundmenge offen.
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
1. wird durch die Definition von offenen Mengen aus der Analysis, die du ansprichst, zu einem topologischen Raum. Aber allgemein ist der Begriff offene Menge in einem topologischen Raum nicht äquivalent zu dem selben Begriff in einem metrischen Raum. Sprich die werden "einfach nur so genannt".

Wie kann man sich dann den Begriff "offene Menge im topologischen Sinne" irgendwie veranschaulichen?
Bedeutet offene, das jede endliche Teilmenge von X in der Topologie enthalten ist?

Wenn die Menge ist und ich offen im Sinne der Analysis verwende, habe ich also ein speziellen tolologischen Raum.



2. Auf jeder Menge kann man 2 triviale Topologien definieren:
Bei der indiskreten Topologie sind nur die leere Menge und die Grundmenge offen.
Bei der diskreten Topologie sind alle Teilmengen der Grundmenge offen.

Die "einfachste" Topologie wäre dann.

Gibt es noch irgendetwas Wissenswertes über die Definition Topologie?

Gruß
Wink
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zwergnase
Wie kann man sich dann den Begriff "offene Menge im topologischen Sinne" irgendwie veranschaulichen?

Am besten gar nicht. Manchmal ist es aber hilfreich in (R, |.|) zu denken.

Zitat:
Original von zwergnase
Bedeutet offene, das jede endliche Teilmenge von X in der Topologie enthalten ist?

Nein.

Zitat:
Original von zwergnase
Wenn die Menge ist und ich offen im Sinne der Analysis verwende, habe ich also ein speziellen tolologischen Raum.

Ja.

Zitat:
Original von zwergnase
Die "einfachste" Topologie wäre dann.

Eine Topologie ist ein System von Mengen (das obigen Axiomen genügt). Das hier ist also keine Topologie (da es kein System von Mengen ist)!
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Zitat:
Original von zwergnase
Wie kann man sich dann den Begriff "offene Menge im topologischen Sinne" irgendwie veranschaulichen?

Am besten gar nicht. Manchmal ist es aber hilfreich in (R, |.|) zu denken.
Was meinst du mit |.|, ist mit nicht geläufig?

Zitat:
Original von therisen

Zitat:
Original von zwergnase
Die "einfachste" Topologie wäre dann.

Eine Topologie ist ein System von Mengen (das obigen Axiomen genügt). Das hier ist also keine Topologie (da es kein System von Mengen ist)!



Okay, habe ich mich unklar ausgedrückt. Also , dann ist meine Topologie

Eine weitere Frage:
Ich habe hier ein Aufgabe gefunden: Geben Sie alle möglichen Topologien auf der Menge an.
Meine Lösung:
Auf der Menge

gibt es ist ein indiskrete Topologie: und ein diskrete Topolgie: , ich kenne nur noch die natürliche Topologie, aber die ist auf der Menge nicht gegeben. Dafür müsste z.B. die Menge , für sein. Oder?
Wie würde auf Menge Y, die diskrete Topologie aussehen? Klar, und auch die Menge selber, kann ich dafür schreiben, ist enthalten. Aber wie schreibe ich alle restlichen Teilmengen auf? Sind ja unendlich viele offene Intervalle?

Gruß Wink
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zwergnase
Was meinst du mit |.|, ist mit nicht geläufig?

Das ist der gewöhnliche Absolutbetrag.

Zitat:
Original von zwergnase
Ich habe hier ein Aufgabe gefunden: Geben Sie alle möglichen Topologien auf der Menge an.
Meine Lösung:
Auf der Menge

gibt es ist ein indiskrete Topologie: und ein diskrete Topolgie: , ich kenne nur noch die natürliche Topologie, aber die ist auf der Menge nicht gegeben.


Auch ist eine mögliche Topologie für . Es ist mühsam auf deine Beiträge zu antworten. Du solltest deine Fragen etwas besser strukturieren und Absätze machen.
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, Entschuldigung! Ich versuche es nochmal!

Fragestellung: Geben Sie alle möglichen Topologien auf der Menge an.

Lösungsversuch:





Gibt es noch weiter?

Eine natürliche Topologie ist nicht gegeben, oder?
Sie wäre aber für eine Menge: , für gegeben. Mit

Ich hoffe es ist nun etwas verständlicher und du nimmst dir nochmal etwas Zeit um darüber zu schauen.

Danke, Gruß Wink
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zwergnase
Gibt es noch weiter?

Nein. Übrigens ist deine Klammersetzung fehlerhaft.

Zitat:
Original von zwergnase
Eine natürliche Topologie ist nicht gegeben, oder?

Dazu müsstest du "natürlich" erstmal definieren.

Zitat:
Original von zwergnase
Sie wäre aber für eine Menge: , für gegeben. Mit

Das ist keine Topologie, außer es ist und dann ist es die indiskrete Topologie auf |R.
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Natürliche Topologie: Die natürliche Topolgie auf besteht aus den Vereinigungen von offenen Intervallen .

Danke therisen für deine Hilfe, werde mich später noch mal mit einer anderen Aufgabe melden.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zwergnase
Natürliche Topologie: Die natürliche Topolgie auf besteht aus den Vereinigungen von offenen Intervallen .

Man nennt dies übrigens eine Basis in der Topologie. Es genügt auch zu fordern. Dann hat man eine abzählbare Basis.
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