Flächeninhalt im reellen euklidischen Raum

08.07.2006, 14:14

HarryPotter

Flächeninhalt im reellen euklidischen Raum

Sei $\begin{eqnarray*} F(s,\phi)=((s^{2}+s+1) \sin(\phi),(s^{2}+s+1)cos(\phi),s^{2}+s)) \end{eqnarray*}$ eine Fläche des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} s\in [0,2]und \phi\in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ .

Ansatz zur Berchnung der Fläche A:

$\begin{eqnarray*} \iint_B\mid F_s \times F_\phi \mid db \end{eqnarray*}$

wobei B:= $\begin{eqnarray*} [0,2]\times [0,2\pi] \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?
mfg Potter(*1998 $\begin{eqnarray*} \dagger \end{eqnarray*}$ 2006)
http://www.wagerweb.com/media/

08.07.2006, 16:49

Abakus

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RE: Flächeninhalt im reellen euklidischen Raum
Du müsstest noch sagen, was db sein soll. Zudem integrierst du beim zweiten Integral über B; wozu brauchst du dann das erste Integral ?

Desweiteren müsstest du begründen, wieso F eine reguläre Parameterdarstellung deiner Fläche A ist.

Grüße Abakus smile

08.07.2006, 17:14

HarryPotter

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Ich nehme an das ist eine Reguläre Parameterdarstellung, oder nicht? Was wäre dazu zu zeigen?

Weil B ein Bereich ist, setze ich ein zweifachintegral an. zuerst wird nach $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ dann nach s integriert.

08.07.2006, 17:57

Abakus

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Zitat:

Original von HarryPotter
Ich nehme an das ist eine Reguläre Parameterdarstellung, oder nicht? Was wäre dazu zu zeigen?

F müsste stetig differenzierbar auf dem Inneren deines Parameterbereiches sein. Das Kreuzprodukt der beiden partiellen Ableitungen der Parameterdarstellung (Normalenvektor der Fläche) muss verschieden vom Nullvektor sein.

Zitat:

Weil B ein Bereich ist, setze ich ein zweifachintegral an. zuerst wird nach $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ dann nach s integriert.

OK, dann musst du zumindest noch db bestimmen.

Grüße Abakus smile

08.07.2006, 19:29

HarryPotter

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Jetzt sollen die Schwerpunktkoordinaten bestimmt werden, aber ich kann nirgends die entsprechende Formel für räumliche Flächen finden, so wie wir hier eine haben. Kann mir jemand weiterhelfen?

08.07.2006, 20:32

Abakus

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Siehe hier. Das liefert zumindest das Prinzip.

Grüße Abakus smile

09.07.2006, 14:59

HarryPotter

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Hmm, ja...

Ich habe ein problem damit.

Wir befinden uns ja im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ und haben die oben angegebene räumliche Fläche. Wenn ich jetzt den Schwerpunkt dieser berechnen will, dann ist das ein Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,trivial.

Ich brauche also drei Schwerpunktkoordinaten x,y,z.

Die Formeln beziehen sich aber, so wie ich das verstehe auf Körper mit Volumen, ich habe aber kein Volumen das ich in die Formeln einsetzen könnte!
Ich habe nur eine Fläche.

Oder kann ich einfach die Formeln benutzen und betrachte meine Fläche als Volumen. verwirrt

09.07.2006, 18:34

Abakus

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Wie ist es mit folgendem:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_s \\ y_s \\ z_s \end{pmatrix} = \frac{1}{F} \cdot \int_B~ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot dB \end{eqnarray*}$

Das Integral ist hier koordinatenweise zu bilden (also pro Koordinate). F ist die Fläche, die Flächendichte ist als 1 angenommen.

Grüße Abakus smile

10.07.2006, 11:37

HarryPotter

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thx

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