Reihen Konvergenz

08.07.2006, 15:36

verwirrt

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Reihen Konvergenz

Hallo! Ich hab leider nochmal eine Frage zu der Konvergenz von Reihen...

Ich soll zeigen ob folgende Reihe konvergent ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty ~\frac{1}{n^{2}+(-1)^{n}} \end{eqnarray*}$

Zuerst dachte ich, man könnte das ganze vielleicht mit dem Leibnizkriterium lösen, aber mir ist keine Möglichkeit eingefallen, wie ich das ganze dafür sinnvoll umwandeln könnte.

Danach dachte ich, eine Fallunterscheidung nach geraden und ungeraden n würde mir weiterhelfen und habe einzeln betrachtet

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty ~\frac{1}{n^{2}+1} \end{eqnarray*}$ für gerade n

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty ~\frac{1}{n^{2}-1} \end{eqnarray*}$ für ungerade n.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty ~\frac{1}{n^{2}+1} \end{eqnarray*}$ hab ich dann mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ abgeschätzt und daraus Konvergenz gefolgert.

Für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty ~\frac{1}{n^{2}-1} \end{eqnarray*}$ allerdings habe ich mit dem Quotientenkriterium einen Grenzwert von 1 rausbekommen, woraus ich dann ja Divergenz folgern würde.

Nun ist meine Frage also, ob man das ganze überhaupt in dieser Form betrachten darf bzw. ob man aus dem Ganzen nun eine Endfolgerung ziehen kann.

Ansonsten wäre ich für einen Tipp wie ich das ganze sonst angehen soll sehr dankbar...

Liebe Grüße

08.07.2006, 16:35

Frooke

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RE: Reihen Konvergenz
Deine Abschätzung ist korrekt.

EDIT: Outch, danke Benedikt Gott

Gott

08.07.2006, 16:39

sqrt(2)

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Nur dass man nach dem Quotientenkriterium ein C mit $\begin{eqnarray*} \left|\frac{n^2-1}{(n+1)^2-1}\right|<C<1 \end{eqnarray*}$ für fast alle n suchen würde, und das gibt es tatsächlich nicht. Das heißt allerdings nicht, dass die Reihe nicht konvergiert (das Quotientekriterium ist hinreichend, aber nicht notwendig für Konvergenz).

08.07.2006, 16:44

verwirrt

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hm...
fragen über fragen...

heißt es, selbst wenn ich bei der anwendung des quotientenkriteriums rausbekomme, dass der grenzwert 1 oder größer ist, heißt es nicht zwingend, dass die reihe divergiert?

aber wenn ich einen grenzwert kleiner 1 rausfinde, sie dann zwingend konvergiert? hab ich das so richtig verstanden?

aber wenn es mit dem quotientenkriterium nicht klappt...mit was für einer reihe kann ich das ganze denn sinnvoll abschätzen?

und ist es wenistens im ansatz richtig die reihe nach den beiden fällen getrennt zu untersuchen?

08.07.2006, 17:24

therisen

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Hallo verwirrt,

siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenk...3.BCr_Divergenz

Ich habe eine elementare Lösung gefunden:
Sei $\begin{eqnarray*} a_k:=\frac{1}{k-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k :=-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \geq 2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{k^2+(-1)^k} \right| \leq \frac{1}{k^2-1} = \frac{1}{2} \left(a_k+b_k\right) \end{eqnarray*}$ .

Es gilt die Identität $\begin{eqnarray*} a_k+b_{k-2}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \geq 4 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n \left(a_k+b_k\right) = a_2+a_3+b_{n-1}+b_n \rightarrow a_2+a_3 = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ . Nach dem Majorantenkriterium konvergiert also auch die Ausgangsreihe.

Gruß, therisen

08.07.2006, 19:50

klarsoweit

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RE: Reihen Konvergenz

Zitat:

Original von verwirrt
Für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty ~\frac{1}{n^{2}-1} \end{eqnarray*}$ allerdings habe ich mit dem Quotientenkriterium einen Grenzwert von 1 rausbekommen, woraus ich dann ja Divergenz folgern würde.

Wie wäre es mit der Abschätzung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+1} < \frac{1}{n^{2}-1} < \frac{2}{n^{2}} \end{eqnarray*}$

Nochmal zum Quotientenkriterium:
Wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = 1 \end{eqnarray*}$ , dann liefert das Kriterium keine Aussage. Die Reihe kann divergent oder konvergent sein.

Ist jedoch: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = g > 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist ab einem genügend großem n $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| \geq c \cdot |a_n| \end{eqnarray*}$ mit c > 1. Damit folgt, daß a_n keine Nullfolge war, und die Reihe konnte daher sowieso nicht konvergieren.

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08.07.2006, 20:26

verwirrt

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Vielen Dank! Das hört sich wirklich gut an.
Nun hoffe ich zwei abschließende Fragen:

Kann ich davon ausgehen, dass ich jeden Reihe theoretisch in zwei Reihen zerlegen kann und diese dann einzeln betrachten, um Rückschlüsse auf die Urreihe ziehen zu können?

Langsam wird mir das Quotientenkriterium glaube ich klar. Ist der Limes aber kleiner als 1, kann ich dann ganz sicher von der Konvergenz der Reihe ausgehen?

Liebe Grüße und nochmal Danke für die liebe Hilfe!

08.07.2006, 20:39

sqrt(2)

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Zitat:

Original von verwirrt
Kann ich davon ausgehen, dass ich jeden Reihe theoretisch in zwei Reihen zerlegen kann und diese dann einzeln betrachten, um Rückschlüsse auf die Urreihe ziehen zu können?

Was für Rückschlüsse denn? Mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ , obwohl die Reihen $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_{2n-1} \end{eqnarray*}$ divergieren.

Zitat:

Original von verwirrt
Langsam wird mir das Quotientenkriterium glaube ich klar. Ist der Limes aber kleiner als 1, kann ich dann ganz sicher von der Konvergenz der Reihe ausgehen?

Ja.

08.07.2006, 21:52

verwirrt

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hm. also entweder ich versteh nicht ganz was du sagen möchtest oder ich verstehe nicht, warum ich dann die Reihe für gerade und ungerade getrennt betrachten darf...

08.07.2006, 22:04

therisen

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Zitat:

Original von verwirrt
oder ich verstehe nicht, warum ich dann die Reihe für gerade und ungerade getrennt betrachten darf...

Sqrt2 hat dir eben dafür ein Gegenbeispiel gegeben! Bei unendlichen Summen (wie hier) darf das Kommutativgesetz nicht willkürlich angewandt werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

09.07.2006, 00:47

JochenX

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Ich weiß auch nicht, WIESO du das noch tun willst.
Zumindest Klarsoweit hat dir ja schon eine konvergente Majorante gesagt; nutze die doch einfach.

Sowas solltest du dir merken, in diesem Fall macht das (-1)^n nämlich nur den Summanden +1/-1 aus, der im Gegensatz zum n^2 eben "unbedeutend" ist.
Die Majorante, die Klarsoweit angegeben hat, folgt quasi sofort aus dieser Tatsache (natürlich gibt es viele andere passende Majoranten).

Also jetzt schätz mal ab, wie er sagt.

09.07.2006, 09:32

verwirrt

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also gut, ich würde dann sagen:

Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ kovergiert.
Daraus folgt, dass auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+3} \end{eqnarray*}$ konvergiert, da

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+3} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ .

Und da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+(-1)^{n}} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+3} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ gilt, folgt, dass die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\frac{1}{n^{2}+(-1)^{n}} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Meint ihr das so?

09.07.2006, 11:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von verwirrt
Und da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+(-1)^{n}} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+3} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ gilt,

Im Prinzip, ja. Nur deine Abschätzung ist falsch. Setz da mal n=2 ein.

Und zu der Geschichte mit den Teilsummen:
Natürlich gilt: Besteht eine Reihe aus 2 konvergenten Teilsummen, dann konvergiert die Reihe ebenfalls.

09.07.2006, 11:56

verwirrt

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stimmt, hast natürlich recht, ist blödsinn.

hier mein letzter verzweifelter versuch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+(-1)^{n}} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n^{2}-1} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ ...

09.07.2006, 12:12

klarsoweit

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Die Abschätzung ist jetzt ok, wobei eine Begründung für $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n^{2}-1} < \frac{5}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ nicht schlecht wäre.

PS: Das "<" darf ruhig im Latexcode drinstehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.07.2006, 13:39

verwirrt

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ich danke euch für eure geduld und hilfe!

reicht es für die begründung nicht, wenn man sagt, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^{2} }{n^{2}(n^{2}-1)}< \frac{5n^{2}-5}{n^{2}(n^{2}-1)} \end{eqnarray*}$

und wenn man dann betrachtet, dass

$\begin{eqnarray*} 2n^{2}<5n^{2}-5\Rightarrow 2<5-\frac{5}{n^{2}} \Rightarrow 2+\frac{5}{n^{2}}<5 \end{eqnarray*}$

Und da n=2 der kleinste Wert für n ist, kann die größtmögliche Lösung der linken Seite nur $\begin{eqnarray*} 3\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ sein, was kleiner als 5 ist.

09.07.2006, 14:27

klarsoweit

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Nun ja, noch einfacher ist:
$\begin{eqnarray*} 2n^{2}<5n^{2}-5\Rightarrow 0<3n^2-5 \end{eqnarray*}$
Und das ist wegen der steigenden Monotonie von 3n² für alle n>=2 erfüllt.

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