Hauptachsentransformation

08.07.2006, 19:41	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation HI! Hab ein paar Fragen zur Hauptachsentransformation... Wann und warum entsprechen Endomorphismen symm. Bilnearformen? `sind das gerade die selbstadjungierten Endos? und für was braucht man so eine transformation? nur weil man mit diagonalen matrizen besser rechnen kann?? viele grüße
08.07.2006, 20:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptachsentransformation Also nun mal der Reihe nach. wir sind wahrscheinlich in der Linearen Algebra, und beschäftigen uns mit Linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen V und W. Die nennt man allgemein: Homomorphismen Gilt nun V=W so nennt man die lineare Abbildung Endomorphismus. Eine Bilinearform ist eine Abbilung $\begin{eqnarray} s: VxW \rightarrow K \end{eqnarray}$ . Sie ist linear in "beiden" Komponenten. Schlage hierzu bitte die entsprechenden Axiome in deinem Skritp nach . Wieder ist auch hier der Fall V=W möglich. Symmetrisch bedeutet nun, dass für die Bilinearform gilt s(v,w) = s(w,v). Die Hauptachsentransformation besagt nun, dass die Darstellende Matrix einer symmetrischen Bilinearform (symmetrische Matrix) ähnlich zu einer diagonalmatrix ist und das die Transformationsmatrix S orthogonal ist. D.h. $\begin{eqnarray} S^{-1} = S^{T} \end{eqnarray}$ und wenn Du schon mal versucht hast, die Inverse eine Matrix zu berechnen, dürfte Dir klar sein, das Transponieren deutlich einfacher ist Wozu braucht man das. NUR weil man mit Diagonalmatrizen besser rechnen kann? Tja wenn du das so soiehst, da stellt sich dann doch die Frage, warum einen Endomorphismus überhaupt eine Matrix zuordnen? Wenn Du mal die LinA I+ II siehst, dann ist ein " große Ziel" eine Antwort auf die Frage zu finden, wann eine Matrix diagonalisierbar ist. Denn die Lösung eines LGS berechnet sich dann doch deutlich einfacher. Und i.A. werden die zu lösenden LGS recht hohe Dimensionen haben. Ich bin ja schon bei einer 5x5 Matrix genervt. Aber die Diagonalmatrix enthält ja noch mehr informationen. Rang ist sofort ablesbar sowie die Eigenwerte. Gruß
08.07.2006, 21:56	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
hi tigerbine!! vielen dank für deine ausführliche erklärung, jetzt macht das schon etwas mehr sinn wozu das gut ist! d.h. wenn die Strukturmatrix einer Bilform ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, gilt $\begin{eqnarray} S^t B \sigma(S) = D \end{eqnarray}$ ? aber so ganz ist mir der zusammenhang zwischen den endomorphismen oder allg. homorphismen und den bilinearformen noch nicht. in LAI haben wir doch auch schon matrizen auf diagonalgestalt bringen können, warum ist das jetzt so complicated? ist das damit man orthogonale matrizen bekommt und nicht mehr invertieren muss? und wann muss ich die Strukturmatrix und wann die Abblidungsmatrix diagonalisieren durcheinanderbin ? viele grüße
08.07.2006, 23:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also fangen wir noch mal von vorne an. Homomorphismus $\begin{eqnarray} H: V \rightarrow W \end{eqnarray}$ ist eine Lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen V und W. Hierbei findet man immer Basien A,B von V und W do dass die darstellende AMtrix von H Diagonalgestalt Besitzt, und zwar in Form der Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} E_{r} \end{eqnarray}$ mit rang(H) = r. Interessanter ist also die Frage, wann ein Endomorphismus $\begin{eqnarray} F: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ diagonalisierbar ist. Darauf lautet die Antwort: wenn das char. polynom in linearfaktoren zerfällt und die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfacheit eines jeden Eigenwerts ist. Nun ist es aber nicht gerade einfach die Eigenwerte einer Matrix zu bestimmen. Das Problem ist äquivalent zur Nullstellenbestimmung von Polynomen, und da existiert für n>4 schon keine Lösungsformel mehr. Also ist man auf der Suche nach einfacheren Bedingungen. Ein weiteres Problem ist die Bestimmung der Inversen Transformationsmatrix. Antwort auf diese Rage gibt dann der Spektralsatz für normale Endomorphismen (unitäre Endos und selbstadjungierte Endos sind auch normal). Man kann mit einer erweiterten Definition der Diagonalmatrix auch die Orthogonalen Matrizen mit rein nehmen. Nun zu den Bilienarformen. Das sind keine Endomorphismen, sondern "zweifache Linearformen", also Abbildungen von dem Vektorruam in den Grundkörper K. Du solltest dir zu diesem Thema noch mal das skalaprodukt Vornehmen. Das ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform. in diesem Zusammhang dürfte dann auch erwähnt sein, dass durch $\begin{eqnarray} <v,w> = v^{T}Av \end{eqnarray}$ und symmetrisches A eine symmetrische Biliearfom gegeben ist. Desweiteren sollte irgendwo dieser Satz auftauchen: Es gibt eine Bijektion ziwschen der Menge der symmetrischen Bilinearfomen von V und der Menge der symmetrischen Matrizen M(nxn, K) Die hauptachsentransformation sagt nun, dass dann auch diese symmtrischen Matrizen orthogonal diagonalisierbar sind. Gruß

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