Partielle Ableitung - verschiedene Ergebnisse

08.07.2006, 21:44

mYthos

Partielle Ableitung - verschiedene Ergebnisse

Hallo,

nach längerer Abstinenz (Paris-Reise, Urlaub, etc.) melde ich mich wieder zurück, diesmal ausnahmsweise mal mit einer Frage an euch. Es handelt sich um eine wahrscheinlich einfache Aufgabe, dennoch mache ich bei der Rechnung irgendwo einen Fehler, auf den ich ad hoc nicht draufkomme.

Gegeben ist die Funktion

$\begin{eqnarray*} F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2xz - 25 = 0 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} z = f(x,y) \end{eqnarray*}$

Es soll die partielle Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\delta z}{\delta x} \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Zunächst leite ich den Term implizit nach x ab, und setze für $\begin{eqnarray*} \frac{\delta z}{\delta x} \end{eqnarray*}$ vereinfachend z'

$\begin{eqnarray*} 2x + 2z \cdot z' - 2(z + x \cdot z') = 0 \end{eqnarray*}$ (Ketten- & Produktregel)
-->
$\begin{eqnarray*} x + z \cdot z' - z - x \cdot z' = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' \cdot (z - x) = z - x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' = \frac{\delta z}{\delta x} = 1 \end{eqnarray*}$

So weit, so gut.
Nun hat ein anderer Mathematiker aber so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta z}{\delta x} = \frac{\delta z}{\delta F} \cdot \frac{\delta F}{\delta x} = \frac{\frac{\delta F}{\delta x}}{\frac{\delta F}{\delta z}} \end{eqnarray*}$

Und somit

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta z}{\delta x} = \frac{2x - 2z}{2z - 2x} = -1 \end{eqnarray*}$

Also spiesst es sich am Vorzeichen! Mögliche Ursache für diese Diskrepanz könnte sein, dass die obige Umformung für partielle Diff. quotienten nicht zulässig ist, aber warum?

Weil ich es nun noch genauer wissen wollte, habe ich die Funktion z = z(x,y) nun explizit berechnet, indem die Funktionsgleichung nach z aufgelöst wurde, und diese dann partiell nach x differenziert:

$\begin{eqnarray*} z^2 - 2x \cdot z + x^2 + y^2 + 25 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} _1z_2 = x \pm \sqrt {x^2 - x^2 - y^2 + 25} = x \pm \sqrt {25 - y^2} \end{eqnarray*}$
-->

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta z}{\delta x} = 1 \end{eqnarray*}$

Damit wird das erste Ergebnis (welches ich als richtig erachte) noch bestätigt.

Wo liegt der Fehler?

Gr
mYthos

edit Jochen:
hab ein doppeltes "x^2" in ein "y^2" verwandelt, mYthos, ich glaube, so stimmt die Angabe deiner Funktion F eher.

09.07.2006, 01:41

MrPSI

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Hi mYthos,

ich glaube, der Fehler liegt darin, dass die Nenner- und Zählererweiterung des ungenannten Mathematikers unerlaubt sind, weil ja F(x, y, z) = 0.

09.07.2006, 23:48

mYthos

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Eigenartig ist immerhin, dass sich der Fehler nur beim Vorzeichen des Ergebnisses bemerkbar macht. Dass F(x, y, z) = 0 ist, kommt daher, dass die Ausgangsfunktion vorher einfach auf Null gebracht wurde und sagt ja nicht aus, dass die beiden partiellen Differentialquotienten im Doppelbruch ebenfalls Null sind, also müsste die Division "legal" sein. Und warum bringt dieser Fehler ausgerechnet nur einen Vorzeichenwechsel? Vielleicht bringt eine geometrische Deutung des Rätsels Lösung ...

mY+

@Jochen
Ja, so stimmt die Funktion, ich hatte den Angabefehler nicht bemerkt.

10.07.2006, 00:26

Abakus

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RE: Partielle Ableitung - verschiedene Ergebnisse

Zitat:

Original von mYthos
So weit, so gut.
Nun hat ein anderer Mathematiker aber so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta z}{\delta x} = \frac{\delta z}{\delta F} \cdot \frac{\delta F}{\delta x} = \frac{\frac{\delta F}{\delta x}}{\frac{\delta F}{\delta z}} \end{eqnarray*}$

Und somit

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta z}{\delta x} = \frac{2x - 2z}{2z - 2x} = -1 \end{eqnarray*}$

Das erste mag ja noch angehen. Aber da stehen dann keine Differentialquotienten, sondern nur Differentiale. Es ist:

$\begin{eqnarray*} dF~ =~ F_1 \cdot dx + F_2 \cdot dy + F_3 \cdot dz \end{eqnarray*}$

Daher ist $\begin{eqnarray*} ~ \frac{dF}{dx}~ \ne ~ F_1 \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

PS: ich schreibe hier d statt $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , das partielle Delta wäre \partial, $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ benutze ich ggf. für Richtungsableitungen

11.07.2006, 08:57

mYthos

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@Abakus

Das gilt für das totale Differential dF, aber der partielle Diff. quot. $\begin{eqnarray*} \frac {\delta F}{\delta x} \end{eqnarray*}$ ist doch unabhängig von den anderen Variablen ... .

Nun ist dies zwar für mich noch immer nicht schlüssig, aber offensichtlich darf bei partiellen Ableitungen tatsächlich nicht (formal) mit den Differentialen gerechnet werden, das nehm' ich mal so hin.

Danke!

Gr
mYthos+

11.07.2006, 10:29

JochenX

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Das Minuszeichen kommt im einfachen scheinbar einfach vom Auflösen; dabei wird nämlich das y-Unabhängige (z-Unabhängige) auf die andere Seite gebracht.

im einfachen Falle $\begin{eqnarray*} F(x,y)=y+f(x) \end{eqnarray*}$ ist das schnell ersichtlich.
F=0 ergibt: y=-f(x) und somit y'=-f'(x), während die "unaufgelöste Rechnung des Kollegen" y'=f'(x)/1=f'(x) ergibt. (*)

Interessant fände ich vielmehr die Frage, ob es sich hierbei IMMER um den Faktor -1 ändert, wenn ja, dann hätte man dadurch trotzdem eine Berechnungsmethode gefunden, ohne Auflösen zu müssen.

Übrigens finde ich den Umweg über dx/dF überhaupt gewagt, was genau soll das denn darstellen?
Mit 1/(dF/dx)=1/f' wird es dann auf eine sinnvolle Form gebracht, aber x lässt sich ja nicht nach F ableiten.....

(*) Wenn man nach y Auflösen kann, hat man ja am Ende diesen einfachen Fall!
Auch wenn y z heißt und der Rest noch aus ganz vielen Variablen besteht.

Edit1 : interessant ist der Fall ja eh hauptsächlich bei Funktionen, die sich NICHT nach y auflösen lassen; man könnte nicht zufälligerweise über diese "Nebenableitung *(-1)" etwas über y'(x) erfahren, was man dann zur Findung von y per Integration nutzen könnte? Augenzwinkern

Edit: natürlich nicht, wenn y nicht linear vorliegt, dann liefert die "zweite Methode" ja gar kein y-unabhängiges y'.....
Sry für diesen falschen Edit 1.

12.07.2006, 01:12

Ben Sisko

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Zitat:

Original von LOED
Übrigens finde ich den Umweg über dx/dF überhaupt gewagt, was genau soll das denn darstellen?
Mit 1/(dF/dx)=1/f' wird es dann auf eine sinnvolle Form gebracht, aber x lässt sich ja nicht nach F ableiten.....

da sind die d vermutlich im ursprünglichen Sinne einer Differenz gemeint (Differenzenquotient, ob mit oder ohne Grenzwert, lass ich mal offen Augenzwinkern

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