Wegintegral

09.07.2006, 14:39

Matthias16

Wegintegral

hallo,

wr mussten mal einen üungszettel bearbeiten. nur leider wurde der nie kontrolliert. bzw. bekamen wir nie lösungen dazu. das ist jetzt pech für mich, denn ich habe hier eine aufgabe, mit der ich leider garnichts anfangen kann:

Man berechne für die Funktion $\begin{eqnarray*} \vec{v} = x \vec{e}_x + xy\vec{e}_y \end{eqnarray*}$
das Wegintegral

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}~\vec{v}~d\vec{s} \end{eqnarray*}$ längs der Wege: $\begin{eqnarray*} (1,0,0) \to (1,1,0) und (1,0,0) \to (2,1,0) \end{eqnarray*}$

mein problem liegt insbesondere darin, das ich hiermit $\begin{eqnarray*} (1,0,0) \to (1,1,0) und (1,0,0) \to (2,1,0) \end{eqnarray*}$ nicht wirklich was anfanen kann. wie soll ich damit umgehen? könntet ihr mir hier bitte ein bisschen helfen?

danke

10.07.2006, 01:02

Abakus

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RE: Wegintegral
Siehe erstmal hier.

Sind keine Wege angegeben bzw. soll man sich die frei wählen können ? (das geht zB, wenn das Vektorfeld wegunabhängig wäre)

Grüße Abakus smile

12.07.2006, 16:04

cOsInUsHyPeRbOLIcUs

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RE: Wegintegral
Also dein v ist je eine bewegung im zweidimensionalen .. was man an dem ex und ey sieht ... und die Punkte (1,0,0) und (1,1,0) haben auch nur eine xund y Komponente .. Du musst zwischen den Beiden Punkten die Vektoren berechnen ... zb (1,1,0)-(1,0,0) = (0,1,0) ist dein Vektor.. Bzw dein Gamma ist dann (0,t,0) ... und dann einfach das Kurvenintegral lösen.

12.07.2006, 18:06

Matthias16

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tut mir echt leid, aber ich habe mir den link angeschaut. nur leider verstehe ich immer noch nicht ganz, was hier los ist.

also, ich habe mir das dann nun so gedacht:

\int_{2}^{1}~(xe_x + xye_y) ~dx \cdot \begin{vmatrix} 0\\t \end{vmatrix} ds

das da in den betragsstrichen kam so zustande, dass ich dann den berechneten vektor von cOsInUsHyPeRbOLIcUs verwende.

ist der nfang schonmal richtig? oder totaler blödsin?

12.07.2006, 18:08

Matthias16

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Zitat:

Original von Matthias16

\int_{2}^{1}~(xe_x + xye_y) ~dx \cdot \begin{vmatrix} 0\\t \end{vmatrix} ds

sorry, dass sollte heißen:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{1}~(xe_x + xye_y) ~ \cdot \begin{vmatrix} 0\\t \end{vmatrix} ds \end{eqnarray*}$

12.07.2006, 20:31

Abakus

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Die Aufgabe ist - wie schon angedeutet - ziemlich vage formuliert. Nehmen wir an, dass als Weg die direkte lineare Verbindung der angegebenen Punkte gewählt werden soll. Dann erhälst du für die Verbindung von (1, 0, 0) nach (1, 1, 0) zB folgenden Weg:

$\begin{eqnarray*} \gamma : [1, 2] \rightarrow \mathbb R^3,~ \gamma(t) = (1, t-1, 0) \end{eqnarray*}$

Diese Parametrisierung musst du selbst bilden.

Für das Wegintegral hast du dann:

$\begin{eqnarray*} \int_1^2 \vec{v}(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t)~dt = \int_1^2 \begin{pmatrix} 1 \\t-1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}~dt \end{eqnarray*}$

Das wäre dann auszurechnen. Analog für die zweite Aufgabe.

Grüße Abakus smile

EDIT: Latex

12.07.2006, 21:33

Matthias16

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tut mir leid, wenn ich jetzt eine mega dumme frage stellen sollte. mr ist aber nich nicht so wirklich klar, wie du darauf kommst:

Zitat:

Original von Abakus

$\begin{eqnarray*} ~ \gamma(t) = (1, t-1, 0) \end{eqnarray*}$

Diese Parametrisierung musst du selbst bilden.

wie kommt man darauf? irgendwie ist das mir leider nicht klar? traurig

12.07.2006, 23:01

Abakus

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Zitat:

Original von Abakus
Dann erhälst du für die Verbindung von (1, 0, 0) nach (1, 1, 0) zB folgenden Weg:

$\begin{eqnarray*} \gamma : [1, 2] \rightarrow \mathbb R^3,~ \gamma(t) = (1, t-1, 0) \end{eqnarray*}$

Das ist eine (von mehreren) Parametrisierungen der Strecke zwischen den Punkten. Dein Weg startet in $\begin{eqnarray*} \gamma(1) = (1, 1-1, 0) = (1, 0, 0) \end{eqnarray*}$ und endet in $\begin{eqnarray*} \gamma(2) = (1, 2-1, 0) = (1, 1, 0) \end{eqnarray*}$ .

Die Punkte dazwischen beinhaltet der Weg ebenso.

Ich habe das so gewählt, weil von 1 bis 2 integriert werden sollte.

Grüße Abakus smile

PS: die weiterführende Frage ist hier, ob das Integral von der Art der Parametrisierung abhängig ist oder nicht

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