Ableitung der Standard- Normalverteilung (Gauß)

04.10.2008, 21:43

Evelyn89

Ableitung der Standard- Normalverteilung (Gauß)

Hi! Ich habe die Aufgabe, die Normalverteilung abzuleiten und zwar bis zur 3. Ableitung.
Ziemlich komplex diese Funktion. Jedoch wird bei der standardisierten Normalverteilung Erwartungswert= 0 ; Sigma=1 gesetzt.
Dadurch sieht die Funktion auch etwas übersichtlicher aus.
Habe erste Ansätze , bin mir aber recht unsicher.

Hier:

$\begin{eqnarray*} f(x) \frac{1}{\sqrt{2*} \pi } * e^\frac{-x^2}{2} \end{eqnarray*}$

1. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f´(x)= -x*e^\frac{-x^2}{2} \end{eqnarray*}$

2. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f´(x)= e^\frac{-x^2}{2}*(-1 + x^2) \end{eqnarray*}$

05.10.2008, 06:51

Jacques

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Hallo,

Deine erste Ableitung ist nicht richtig, deswegen stimmt auch die zweite nicht.

Die Funktion lautet

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \pi } \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \end{eqnarray*}$

Wenn Du z. B. nach der Faktorregel ableitest, dann erhältst Du:

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \pi } \cdot \left[e^{-\frac{1}{2}x^2} \right]^{\prime} = \ ? \end{eqnarray*}$

// Zu den Formeln: Den Multiplikationspunkt schreibt man mit \cdot, den Strich bei Ableitungen mit ^{\prime}

05.10.2008, 13:08

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Jacques
den Strich bei Ableitungen mit ^{\prime}

Man kann übrigens auch einfach den Stirch auf der Raute-Taste verwenden.

Desweiteren habe ich das Gefühl, dass $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Grüße Wink

05.10.2008, 20:32

Evelyn89

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Danke erstmal für die Erklärung des Multiplikationspunkts und den Ableitungsstrich.
Werd ich mir merken und nächstes Mal dran denken.

zur Aufgabe:

Faktorregel? Nun ich dachte nämlich, dass ich die Kettenregel anwenden muss.
Gut alles klar. Schreibe dann meine neue Lösung als nächstes rein.

05.10.2008, 20:36

Jacques

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Zitat:

Original von KingArthur

Faktorregel? Nun ich dachte nämlich, dass ich die Kettenregel anwenden muss.

Sowohl als auch. Augenzwinkern

// edit: Könntest Du noch sagen, ob der Bruch jetzt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \pi} \end{eqnarray*}$

lautet oder

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \end{eqnarray*}$

?

05.10.2008, 20:45

system-agent

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Zitat:

Original von Jacques

// edit: Könntest Du noch sagen, ob der Bruch jetzt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \pi} \end{eqnarray*}$

lautet oder

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \end{eqnarray*}$

?

Letzteres, wenn es wirklich die Dichte der Normalverteilung sein soll.
Siehe auch hier.

06.10.2008, 13:25

Evelyn89

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ja , ich meinte letzteres

06.10.2008, 14:29

Evelyn89

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habs wieder versucht, aber irgendwie hab ich so meine zweifel. naja... ich schreibs einfach mal auf.

hier die 1. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x)= \frac{2}{\sqrt{2\cdot\pi}}\cdot 2e^{ - \frac{1}{2}x{^2}} \end{eqnarray*}$

Habe jetzt die Produkt- und Kettenregel angewendet. Muss aber sagen, dass ich mir nicht sicher war, was ich mit dem $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ machen sollte.
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, indem ihr mich auf meiner Fehler hinweist.
Danke

06.10.2008, 14:32

Evelyn89

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PS: Faktorregel und Produktregel sind doch dasselbe oder?
Sorry für die blöde Frage Gott

06.10.2008, 15:11

system-agent

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Ich weiss nicht so genau mit den Namen, aber es ist:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[e^{-\frac{1}{2}x^2}\right]'\cdot\left[-\frac{1}{2}x^2\right]' \end{eqnarray*}$

Das heisst du musst
$\begin{eqnarray*} \left[e^{-\frac{1}{2}x^2}\right]' \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \left[-\frac{1}{2}x^2\right]' \end{eqnarray*}$
finden. Mach das mal Augenzwinkern

06.10.2008, 17:56

Jacques

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Mit der Faktorregel meine ich den Spezialfall der Produktregel, wenn ein Faktor konstant ist:

$\begin{eqnarray*} \left( \underline{c} \cdot f \right)^{\prime} = \underline{c} \cdot f^{\prime} \end{eqnarray*}$

(c ist eine konstante Funktion)

@ system-agent:

Mit

$\begin{eqnarray*} \left[\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2}\right]^{\prime} \end{eqnarray*}$

meinst Du ja hier die äußere Ableitung der Verkettung, aber das kann man bei dieser Kurzschreibweise nicht erkennen.

07.10.2008, 10:58

Evelyn89

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achso! Diese Sonderregel (Faktorregel ) kannte ich gar nicht!
nun dann müsste dies hier richtig sein:

1. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot(-x)\cdot e^{{-\frac{1}{2}}\cdot{x}^2} \end{eqnarray*}$

Hätte mir doch nur jemand mal was von dieser Sonderregelung erzählt...... böse

Jetzt hab ich 3 Multiplikationspunkte in der Funktion, was mich wieder ein wenig durcheinander bringt.
Kann ich jetzt einfach $\begin{eqnarray*} -x\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot x{^2}} \end{eqnarray*}$ ableiten, während ich den konstanten Faktor c beibehalte?

Gruß

07.10.2008, 12:49

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Zitat:

Original von KingArthur
Hätte mir doch nur jemand mal was von dieser Sonderregelung erzählt...... böse

Du kannst dir die künstliche Aufregung sparen: Zum einen ist sie vermutlich doch behandelt worden, zum anderen fällt sie zur Not als Spezialfall der Multiplikationsregel mit ab. Es ist also gar keine "Sonderregelung".

07.10.2008, 14:19

Jacques

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Zitat:

Original von KingArthur

1. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot(-x)\cdot e^{{-\frac{1}{2}}\cdot{x}^2} \end{eqnarray*}$

Perfekt.

Zitat:

Original von KingArthur

Jetzt hab ich 3 Multiplikationspunkte in der Funktion, was mich wieder ein wenig durcheinander bringt.
Kann ich jetzt einfach $\begin{eqnarray*} -x\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot x{^2}} \end{eqnarray*}$ ableiten, während ich den konstanten Faktor c beibehalte?

Genau so.

Denn nach dem Assoziativgesetz gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot(-x)\cdot \mathrm{e}^{{-\frac{1}{2}}\cdot{x}^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \left( (-x) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2} \right) \end{eqnarray*}$

Also ist die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \left[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \left( (-x) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2} \right) \right]^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \left[ (-x) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2} \right]^{\prime} \end{eqnarray*}$

Allgemein: Wenn man ein Produkt mit mehr als zwei Faktoren hat, dann kann man einfach schrittweise ableiten:

a*b*c = (a*b)*c = a*(b*c)

D. h. man fasst einfach mehrere Faktoren zu einem „großen“ Faktor zusammen.

09.10.2008, 17:10

Evelyn89

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hier die 2. Ableitung, hab sie schon gleich zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=e^{-\frac{1}{2}\cdot x^{2}}\cdot(-1+x^2) \end{eqnarray*}$

Ich denke die müsste stimmen.

Vielen Dank nochmals für eure Hilfe!

Im übrigen muss ich gestehen, dass mir das Schreiben mit Latex mittlerweile sogar schon Spaß macht und wesentlich leichter fällt. Freude

Gruß

Arthur

09.10.2008, 17:27

Jacques

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Zitat:

Original von KingArthur

hier die 2. Ableitung, hab sie schon gleich zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=e^{-\frac{1}{2}\cdot x^{2}}\cdot(-1+x^2) \end{eqnarray*}$

Ich denke die müsste stimmen.

Nicht ganz, Du hast den konstanten Vorfaktor vergessen:

$\begin{eqnarray*} f^{\prime\prime}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \left[ (-x) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2} \right]^{\prime} \end{eqnarray*}$

Und ein Vorzeichen in der Klammer ist nicht ganz richtig.

Zitat:

Original von KingArthur

Im übrigen muss ich gestehen, dass mir das Schreiben mit Latex mittlerweile sogar schon Spaß macht und wesentlich leichter fällt. Freude

Klasse.

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