Wahrheitstabellen

05.10.2008, 01:34

Karli

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Wahrheitstabellen

Hallo miteinander!
ich sollte eine wahrheitstabelle für folgende aussagen erstellen, weiss aber nicht, wie vorgehen:

(i) (P v Q) --> (P ^ Q)

(ii) (P ^ -Q) --> (Q ^ -P)

(iii) P v (Q ^ R) <--> (P v Q) ^ (P v R)

Was sind äquivalente Aussagen zu zB

S --> -T

oder: [-(S v T)] --> S

?

Vielen Dank!

05.10.2008, 03:13

Urza

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Weißt du, was die Zeichen $\begin{eqnarray*} \land, \lor, \neg, \rightarrow, \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ bedeuten? Wenn nicht, sieh die Definition nach.
Weißt du, was eine Wahrheitstabelle ist? Wenn nicht, sieh die Definition nach.
Falls du das weißt: Es ist nicht so schwer, sieh dir einfach ein paar Beispiele von Wahrheitstabellen an und versuche es dann mal. Du kannst deine Ergebnisse hier posten und jemand kann sie überprüfen.
Falls du dann noch nicht weiterkommst: Stelle konkrete Fragen.

05.10.2008, 14:43

Karli

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also, ich habe nun Lösungen:

(i)

P Q P^Q P v Q

w w w w
w f f w
f w f w
f f f f

ist die Lösung nun, dass (P v Q) --> (P ^ Q) gilt, wenn entweder P und Q wahr oder falsch sind?

(ii)

P Q P^-Q Q^-P

w w w w
w f w f
f w f w
f f w w

(P^-Q) --> (Q ^ -P) gilt, wenn entweder P und Q wahr oder falsch sind.

(iii)
hier nur die Lösung: immer wahr, ausser wenn: 1) P falsch, Q wahr, R falsch ist oder 2) P falsch, Q falsch und R wahr ist.

...es gibt bei diesen Beispielen also keine Tatologie...

zu den freien Beispielen (bin ich mir sehr unsicher!):

S --> -T
mein äquivalentes Bsp: (S v T)-->(S v -T)

[-(S v T)] --> S
mein äquivalentes Bsp: (S v T) --> -S

kann mir jemand meine Lösungen anschauen?
ich bin nämlich unsicher, ob ich die aufgabe richtig gelöst habe bzw. die richtigen schlüsse gezogen habe (weil z.B. bei (iii) folgendes zeichen steht: <-->)

Vielen Dank für die Auskunft!

05.10.2008, 17:00

Urza

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Zu (i) : Die Wahrheitstabelle, die du für $\begin{eqnarray*} P,Q,P\land Q,P\lor Q \end{eqnarray*}$ aufgestellt hast, stimmt, auch wenn sie schwer zu lesen ist. Die Schlussfolgerung, die du bezüglich $\begin{eqnarray*} (P\lor Q) \rightarrow (P\land Q) \end{eqnarray*}$ machst, stimmt auch, wenn du damit meinst "..wenn entweder P und Q beide wahr sind oder beide falsch sind".
Um das Ergebnis übersichtlich darzustellen, könntest du noch $\begin{eqnarray*} (P\lor Q) \rightarrow (P\land Q) \end{eqnarray*}$ als neue Spalte in die Tabelle aufnehmen, mit den entsprechenden Wahrheitswerten.

Bei (ii) ist deine Tabelle nicht richtig, die Einträge für $\begin{eqnarray*} P\land \neg Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q\land \neg P \end{eqnarray*}$ stimmen nicht. Überprüfe das nochmal. Wenn es dir hilft, mache vor diesen Spalten erst noch die Spalten $\begin{eqnarray*} \neg P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \neg Q \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du die Wahrheitswerte für die Und-Verknüpfungen noch leichter berechnen.

Die Formel unter (iii) ist eine Tautologie (eine Art Distributivgesetz). Also immer wahr. D.h. du musst irgendwo einen Fehler gemacht haben.

Der Vorteil bei Wahrheitstabellen ist, dass du eine komplexe Formel auf Wahrheit überprüfen kannst, indem du sie in einfacherere Teilformeln zerlegst, die du als Spalten in die Tabelle schreibst, die du dann wiederum zerlegen kannst etc., sodass du in jedem Schritt nur eine einfache Und-, Oder-, Nicht- oder Folgerungsbeziehung für zwei (bzw. eine bei Nicht) Formeln überprüfen musst, deren Wahrheitswerte du schon kennst.

05.10.2008, 17:27

Karli

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super, vielen Dank!
und eben: wie steht es mit den äquivalenzumformungen?
also:

S --> -T
mein äquivalentes Bsp: (S v T)-->(S v -T)

[-(S v T)] --> S
mein äquivalentes Bsp: (S v T) --> -S

05.10.2008, 17:35

Karli

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RE: Wahrheitstabellen
verbesserung zu (ii)

aussage gilt, wenn: entweder P und Q wahr ist, P und Q falsch ist oder P wahr und Q falsch ist :-)

zu (iii) alles klar, hab den fehler gefunden :-)
macht spass =)

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05.10.2008, 19:05

Karli

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RE: Wahrheitstabellen
stimmen meine angaben?

wie stehts mit den folgenden zwei Beispiele?

S --> -T
mein äquivalentes Bsp: (S v T)-->(S v -T)

[-(S v T)] --> S
mein äquivalentes Bsp: (S v T) --> -S

05.10.2008, 19:57

Urza

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Zitat:

macht spass =)

Das ist gut smile

smile

Zitat:

verbesserung zu (ii)

aussage gilt, wenn: entweder P und Q wahr ist, P und Q falsch ist oder P wahr und Q falsch ist :-)

Das ist leider auch nicht richtig. Was ist mit der Formel $\begin{eqnarray*} (P\land \neg Q) \rightarrow (Q \land \neg P) \end{eqnarray*}$ wenn P wahr und Q falsch ist? Ist das, was auf der linken Seite des Pfeiles steht wahr oder falsch? Ist das, was auf der rechten Seite des Pfeiles steht wahr oder falsch? Was ist also mit der Folgerungsbeziehung?

Behalte bei Folgerungsbeziehungen im Hinterkopf, dass gilt: Eine Aussage der Form $\begin{eqnarray*} a\rightarrow b \end{eqnarray*}$ ist immer genau dann falsch, wenn a wahr ist und b falsch. Oder anders ausgedrückt, sie ist genau dann wahr, wenn b wahr ist oder a falsch ist. Das wird ja auch so durch die Wahrheitstabelle zur Folgerung reflektiert. Wenn dir das noch nicht ganz klar ist, überlege es dir nochmal warum das so ist.

Zu deinen Beispielen von äquivalenten Aussagen: Das zu dem zweiten ist richtig, das zu dem ersten nicht. Übrigens wäre es nicht nötig gewesen, deine Lösungen dazu dreimal zu posten.

05.10.2008, 20:06

Karli

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tut mir leid =)

achsoo...na ez hab ichs: (P ^ -Q) --> (Q ^ -P) gilt, wenn P falsch und Q wahr ist oder P wahr und Q falsch ist. =)

zur unteren:
S --> -T
mein Bsp: (S v T) --> -S

05.10.2008, 20:17

Urza

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Nein, das zu (ii) stimmt immernoch nicht. Bitte keine Ratespiele, überlege dir deine Antworten genauer, bevor du sie postest. Gehe mal mit dem von mir eben erwähnten Ansatz daran, dass $\begin{eqnarray*} (P\land \neg Q) \rightarrow (Q\land \neg P) \end{eqnarray*}$ genau dann falsch ist, wenn $\begin{eqnarray*} (P\land \neg Q) \end{eqnarray*}$ wahr und $\begin{eqnarray*} (Q\land \neg P) \end{eqnarray*}$ falsch ist. Dass die Und-Aussage $\begin{eqnarray*} (P\land \neg Q) \end{eqnarray*}$ wahr ist, ist äquivalent dazu, dass beide mit Und verknüpften Aussagen $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \neg Q \end{eqnarray*}$ wahr sind. Versuche, von hier aus weiterzumachen. Du kannst diesen Gedankengang auch genau mit Hilfe der Wahrheitstabellen nachvollziehen.

05.10.2008, 20:28

Karli

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ja, das mit den verknüpfungen habe ich verstanden.
ehm..würde ich nach deinem system vorgehen, so würde die aussage für alle P und Q (wahr oder falsch) gelten...

05.10.2008, 20:53

Urza

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Nein. Schreibe mal deinen genauen Gedankengang auf, dann können wir feststellen, wo das Problem liegt.

05.10.2008, 21:12

karli

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also, so sieht meine tabelle aus:

P Q P^-Q Q^-P

w w f f
w f w w
f w f w
f f f f

also würde ich es nach deinem system machen, wären eben alle richtig.
oder habe ich einen fehler in meiner tabelle?

05.10.2008, 21:49

Urza

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Ja, wenn deine Tabelle richtig wäre, dann hättest du recht, dass es immer gilt. Aber die letzte Spalte stimmt nicht. Gehe sie nochmal Zeile für Zeile durch..

05.10.2008, 22:33

karli

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fehler gefunden..

dh die aussage gilt, wenn P und Q wahr sind, P falsch und Q wahr oder P und Q falsch sind.

05.10.2008, 22:46

Urza

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Ja, das ist richtig.

Zitat:

zur unteren:
S --> -T
mein Bsp: (S v T) --> -S

Das könntest du jetzt eigentlich auch selbst überprüfen. Geh doch einfach alle Kombinationen von S und T wahr oder falsch (sind ja nur 4) durch und teste, ob das gleiche rauskommt. Was anderes mache ich ja auch nicht. Du kannst dich dann ja ggf. nochmal melden

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