Differenzierbarkeit einer Vektorfunktion

09.07.2006, 18:32

humpa65

Differenzierbarkeit einer Vektorfunktion

Sei $\begin{eqnarray*} f: D \subset R^n \rightarrow R^p \end{eqnarray*}$

Wann ist f im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ differenzierbar?

a) Wenn alle partiellen Ableitungen von f existieren und im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig sind.

b) Wenn alle partiellen Ableitungen von f existieren und in einer Umgebung vom Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig sind.

09.07.2006, 20:00

gessi

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RE: Differenzierbarkeit einer Vektorfunktion
Ich hab mal in unser Skript geschaut - da hab ich weder a) noch b) gefunden, sondern:

f dfb in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wenn f in einer Umgebung von x partiell dfb ist und alle Richtungsableitungen in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig sind

11.07.2006, 00:32

Abakus

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RE: Differenzierbarkeit einer Vektorfunktion

Zitat:

Original von humpa65
Sei $\begin{eqnarray*} f: D \subset R^n \rightarrow R^p \end{eqnarray*}$

Wann ist f im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ differenzierbar?

a) Wenn alle partiellen Ableitungen von f existieren und im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig sind.

b) Wenn alle partiellen Ableitungen von f existieren und in einer Umgebung vom Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig sind.

Ich nehme an, es ist in a) gemeint, dass die part. Ableitungen in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ existieren und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist (unklare Fragestellung hier).

Dann ist a) korrekt und b) als stärkere Bedingung dann erst recht.

b) ist bereits die Definition der stetigen Differenzierbarkeit sogar.

Grüße Abakus smile

28.07.2006, 17:46

tiris

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Ich hätte da auch mal eine Frage: Reicht das als Definition, also ist das auch umkehrbar, so dass ich sagen kann:
1.) Wenn alle part. Ableitungen stetig sind ist f diffbar

und

2.) wenn f diffbar ist sind alle part. Ableitungen stetig.

Kann mir da jemand helfen?

Gruß tiris

29.07.2006, 01:35

Abakus

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Zitat:

Original von tiris
Ich hätte da auch mal eine Frage: Reicht das als Definition, also ist das auch umkehrbar, so dass ich sagen kann:
1.) Wenn alle part. Ableitungen stetig sind ist f diffbar

Genau das steht eigentlich weiter oben. Du musst allerdings viel präziser sein und musst dazu sagen, wo die part. Ableitungen existieren bzw. stetig sein sollen und wo f differenzierbar sein soll. Davon hängt es ab.

Eine Definition ist das ansonsten nicht, sondern ein Satz.

Zitat:

2.) wenn f diffbar ist sind alle part. Ableitungen stetig.

Nein, das ist bereits im 1-dimensionalen falsch.

Grüße Abakus smile

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