Komplementärmengen

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eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplementärmengen
Bei folgendem Beispiel weiß ich nicht weiter:

"Welche der folgenden Aussagen sind allgemeingültig? Geben Sie für wahre Aussagen einen Beweis und zu falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an.

"

OK. Mein Ansatz:

Die linke Seite:


dann:




die rechte Seite:



dann umgeformt:


weiter aufgelöst:


Und wo ich nicht weiter komme, ist, dass ich nicht weiß, was ich mit "Element von C" und "kein Element von C" anfangen soll. unglücklich

Stimmt es sonst soweit?

mfg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplementärmengen
Venn diagramm mal probiert? Beispiel aus der Mengenlehre
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplementärmengen
Danke für die Antwort!

Ja. Habe ich versucht:


Wenn ich aus der Angabe ablese und das VENN-Diagramm erstelle:
Die linke Seite:
[attach]8793[/attach]


und die rechte Seite schaut auch gleich aus, oder?

Aber wenn ich versuche meine Umformung als VENN-Diagramm darzustellen, dann scheitere ich an der ganz rechten Klammer (wo x Element von C, aber auch kein Element von C ist...)

mfg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplementärmengen
Linke Seite ist richtig. Für Rechts malen wir uns 2 Teilbilder für die Klammern.

[attach]8794[/attach][attach]8795[/attach]

Nun das linke, abzüglich dem Rechten.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplementärmengen
Du meinst das obere Bild minus dem unteren. Und dann sieht es wieder gleich aus, wie das andere, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplementärmengen
mMn schon.
 
 
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplementärmengen
OK. Aber, wenn ich mir das ansehe und ein VENN-Diagramm machen will:



Die 1. Klammer sieht so aus:
[attach]8796[/attach]

Die 2. Klammer:
[attach]8797[/attach]
Nur weiß ich nicht, ob jetzt C dazugehört oder nicht.

Aber würde man diese beiden zusammenfügen und weil es eine "Oder"-Verknüpfung ist, würde es anders aussehen, wie das Diagramm im vorherigen Posting, oder?

Wo ist mein Fehler?

mfg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der ausgeschrieben Variante hänge ich gerade. Vielleicht kann da jemand anderes helfen? Wink
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man es ganz formal machen will, kommt man IMHO ohne Wahrheitstabelle nicht aus.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Da Diagramme nichts beweisen, sondern die Dinge nur plausibel machen, könntest du deinen Beweisansatz einfach zu Ende führen.

Die Aussage ist immer falsch. Damit ist die Teilaussage rechts von dem falsch. Und dann muss die Aussage links von dem richtig sein. Damit ist der Beweis komplett.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten!

Ich habe es jetzt so gelöst:



Und jetzt eine Wahrheitstabelle:


Die letzten beiden Spalten stimmen überein. Dh die beiden Aussagen sind allgemeingültig. Damit habe ich es bewiesen, oder?

Könnte ich die Wahrheitstabelle gleich hier machen (Ich weiß, dass es umständlicher is)?



Was wäre ein Gegenbeispiel, wenn es falsche Aussagen wären?

mfg
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt das, was ich oben geschrieben habe?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Tabelle ist korrekt und damit auch der Beweis.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort

Freude


Was wäre, wenn auf der linken Seite eine andere Wahrheitstabelle herauskommen würde wie auf der rechten Seite? Die Tabelle wäre der Beweis, dass es eine falsche Aussage wäre. Aber was wäre ein Gegenbeispiel?

mfg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Gegenbeispiel ergibt sich dann aus der oder den Zeilen, bei denen die Wahrheitswerte rechts und links nicht übereinstimmen.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

Folgendes Beispiel:


Die linke Seite ist gleich wie vorher.

Die rechte Seite:


Die Negation umgeformt mit Regel von de Morgan:


Weiter umgeformt mit dem Distributivgesetz:


Jetzt Habe ich es umgeformt, damit ich die Wahrheitstabelle relativ rasch aufstellen kann:


Die beiden letzten Spalten stimmen nicht überein bzw. sind bei der letzten Spalte mehr Möglichkeiten. Damit ist die Anfangsaussage falsch.

Wäre das ein Gegenbeispiel?



Oder wie sollte ich es angeben?

mfg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast bewiesen, dass diese Beziehung nicht allgemeingültig ist. Ein Gegenbeispiel wären drei Mengen A, B und C, bei denen sie falsch ist. Die kann man aus jeder Zeile der Tabelle konstruieren, in denen die Wahrheitwerte nicht übereinstimmen. Nimmt man die erste Zeile, wären das drei Mengen, die mindesten ein gemeinsames Element haben. Das einfachste Gegenbeispiel wäre dann A = B = C ={x}.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

Wäre dieses Gegenbeispiel 100%ig formal korrekt?





(oder besser so? )





Stimmts so?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so.
Die dritte Zeile wäre weniger präzise.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du "weniger präziser"?

Wäre der Äquivalenzpfeil besser?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die angegebene Menge ist die leere Menge. Bei Verwendung des müssen rechts und links von diesem Aussagen stehen. In der dritten Zeile stehen aber auf beiden Seiten des Mengen und keine Aussagen.

Weniger präzise sollte also heißen, man versteht auch so, was du meinst, aber formal ist das nicht in Ordnung.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Danke für die Erklärung Freude

Und beim Äquivalenzpfeil müssten auch Aussagen und keine Mengen rechts und links stehen?

mfg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt!
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Dh, etwas komisch ausgedrückt:

Der Äquivalenzpfeil ist das "Ist-gleich-Zeichen" für Aussagen. Aus der linken Seite folgt die rechte Seite und auch umgekehrt!

Der Implikationspfeil ist, wenn aus der linken Seite die rechte folgt, aber umgekehrt nicht.

Stimmt das?

mfg
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt erklärt. smile
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Prost
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