Schnitt zweier Ebenen

05.10.2008, 21:32

sulo

Schnitt zweier Ebenen

Hi, liebe Mathegenies,
seit langem nutze ich Euer Board und habe schon viele aha-Effekte gehabt. Jetzt habe ich aber ein Problem, an dem ich seit 2 Tagen nicht weiter komme. Vllt. kann jemand meinen Fehler finden?

Die Aufgabe lautet:

Gegeben sind die Ebene E durch die Punkte P(-3|1|2), Q(-2|0|1), R(0|1|-1) und die Ebene F durch $\begin{eqnarray*} F: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weisen Sie nach, dass sich E und F in einer Schnittgeraden g schneiden.
Zunächst die Berechnung von E:

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt setze ich die Ebenen gleich: E = F, und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} - p \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} - q \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun stelle ich ein Gleichungssystem auf und berechne 3 der 4 Variablen:
(I) - 2 = r + s - p - 3q
(II) - 1 = - r - 2s + p
(III) 3 = 2r + s + p + 3q

(I + III= IV) +1 = 3r + 2s
2s = -3r + 1
s = -1,5r + 0,5

s in II - 1 = - r -2(-1,5r + 0,5) + p
- 1 = - r + 3r - 1 + p
0 = 2r + p
p = - 2r

s;p in I - 2 = r + (-1,5r + 0,5) - (- 2r) – 3q
- 2 = r -1,5r + 0,5 + 2r - 3q
- 2,5 = r - 1,5r + 2r - 3
- 2,5 = 1,5r - 3q
3q = 1,5r + 2,5
q = 0,5r + 5/6

Jetzt setze ich die herausgefundenen Variablen in E ein und erhalte:
$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} +(-2r) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + (0,5r + 5/6) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -0,5 \\ 1 \\ -0,5 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -0,5 \\ 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann noch F berechnen:
$\begin{eqnarray*} F: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + (0,5 - 1,5r) \cdot \begin{pmatrix} \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F: \vec{x} = \begin{pmatrix} -0,5 \\ 1 \\ -0,5 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -0,5 \\ 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Schnittgerade wäre also $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sie soll aber sein: $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wenn ich die Ebenen mit den Normalenvektoren berechne, kommt auch das untere Ergebnis raus. Wo liegt bloß mein Fehler bei der Rechnung oben??? verwirrt

Komm einfach nicht weiter und wäre für einen Hinweis sehr dankbar!
Lieben Gruß, Sulo

05.10.2008, 21:35

system-agent

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RE: Schnitt zweier Ebenen

Zitat:

Original von sulo

Weisen Sie nach, dass sich E und F in einer Schnittgeraden g schneiden.

Diese Fragestellung verlangt aber nicht, dass du die Gleichung der Geraden findest Augenzwinkern

.

Das heisst du musst nur zeigen, dass beide Ebenen nicht parallel sind. Dazu nutze am besten die Koordinatenform [Argumentation via Normalenvektor].

05.10.2008, 21:42

sulo

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Hi, system-agent
du schreibst: Diese Fragestellung verlangt aber nicht, dass du die Gleichung der Geraden findest.
Die Aufgabe stammt aus einem Übungsbuch, die Lösung ist angegeben.
Über die Normalenvektoren komme ich auch auf die angegebene Lösung.
Meine Frage war aber: Wo ist mein Fehler?!?
Mir geht es um das Verständnis, nicht darum, möglichst billig eine Aufgabe zu lösen, ok? Wie gesagt für jeden Hinweis auf meinen Denkfehler / Rechenfehler ... bin ich dankbar
Gruß, Sulo

05.10.2008, 23:41

riwe

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RE: Schnitt zweier Ebenen

Zitat:

Original von sulo

$\begin{eqnarray*} F: \vec{x} = \begin{pmatrix} -0,5 \\ 1 \\ -0,5 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -0,5 \\ 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bis hierher stimmt es

nun folgt MIST

Zitat:

Original von sulo

Die Schnittgerade wäre also $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sie soll aber sein: $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wenn ich die Ebenen mit den Normalenvektoren berechne, kommt auch das untere Ergebnis raus. Wo liegt bloß mein Fehler bei der Rechnung oben??? verwirrt

Komm einfach nicht weiter und wäre für einen Hinweis sehr dankbar!
Lieben Gruß, Sulo

du darfst/kannst zwar den vektor mit dem faktor 2 multiplizieren (wegen des parameters r), aber doch NICHT die PUNKTkoordinaten unglücklich

und $\begin{eqnarray*} P(-0.5/1/-0.5) \end{eqnarray*}$ ist ein punkt der angegebenen schnittgeraden ( $\begin{eqnarray*} r=-0.5 \end{eqnarray*}$ ) Freude

06.10.2008, 10:45

sulo

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RE: Schnitt zweier Ebenen
Hi Werner, vielen Dank für Deine Antwort und Deinen Hinweis. Du hast Recht, natürlich hätte ich den Ortsvektor nicht verändern dürfen, dummer Fehler ... Ups

.

Und es freut mich, dass meine Rechnung bis dahin richtig war. Hmm, obwohl, das löst das Dilemma nicht auf, denn die Schnittgerade wäre ja dann wohl:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -0,5 \\ 1 \\ -0,5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das stimmt nicht überein mit der Lösung aus dem Buch, die auch von dem guten Programm von Arndt Bruenner: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geome...lygeo/index.htm errechnet wurde (und die ich ja auch mit den Ebenen in der Normalenform herausgekommen habe), nämlich:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also muss ich dann doch einen Fehler gemacht haben, oder Erstaunt2

??????
Liebe Grüße von einer sehr verwirrten Sulo

06.10.2008, 10:58

riwe

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RE: Schnitt zweier Ebenen

Zitat:

Original von sulo
Hi Werner, vielen Dank für Deine Antwort und Deinen Hinweis. Du hast Recht, natürlich hätte ich den Ortsvektor nicht verändern dürfen, dummer Fehler ... Ups

??????
Liebe Grüße von einer sehr verwirrten Sulo

da hast du meinen beitrag nicht zu ende gelesen.

die beiden gleichungen beschreiben eine IDENTISCHE gerade, du hast halt einen andren aufpunkt, der rest ist nur kosmetik smile

wähle als parameter $\begin{eqnarray*} r=t+0.5 \end{eqnarray*}$ , wie von mir oben angegeben und du bekommst:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -0.5 \\1 \\ -0.5 \end{pmatrix} +(t+0.5)\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jaja, die geheimnisse der geradengleichungen,
einmal darf man, dann wieder nicht unglücklich

nun zufrieden verwirrt

tipp: wenn der richtungsvektor stimmt, überprüfe, ob "dein" aufpunkt auf der "anderen" geraden liegt,
und schon hast du weniger sorgen smile

06.10.2008, 12:07

sulo

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RE: Schnitt zweier Ebenen
Hallo, Werner, vielen vielen Dank für Deine Antwort,
in der Tat habe ich den letzten Satz von dir nicht richtig durchdacht. Leider hab ich grad keine Zeit mehr, das so durchzurechnen, wie Du es beschrieben hast, werde es aber heute Abend machen.
Eigentlich war die Antwort ganz einfach und ich schäme mich,dass ich nicht selbst auf die Idee gekommen bin, zu überprüfen, ob die Geraden identisch sind Finger1

...
Naja, das unterscheidet die Amateure von den Profis ....
Nochmals vielen Dank, liebe Grüße von sulo smile

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