Negation von Quantoren

05.10.2008, 21:42

eierkopf1

Negation von Quantoren

Ich möchte wissen, ob folgendes Beispiel passt:

"Verneinen Sie die Aussage
$\begin{eqnarray*} \exists a \in \mathbb R : \forall b \in \mathbb R : f(a) = f(b) \leftrightarrow a^2 = b \end{eqnarray*}$ "

(Es soll kein Negationszeichen vorkommen)

Meine Lösung:
$\begin{eqnarray*} \forall a \in \mathbb R : \exists b \in \mathbb R : \neg (f(a) = f(b) \leftrightarrow a^2 = b) \end{eqnarray*}$

umformen:
$\begin{eqnarray*} \forall a \in \mathbb R : \exists b \in \mathbb R : f(a) \neq f(b) \leftrightarrow a^2 = b \end{eqnarray*}$

Sollte stimmen, oder?

Was sagt eigentlich der 1. Doppelpunkt (zwischen den Quantoren) aus? Was wäre, wenn man ihn weglassen würde?

mfg

05.10.2008, 22:08

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation von Quantoren
Hallo,

Zitat:

Original von eierkopf1
Ich möchte wissen, ob folgendes Beispiel passt:

"Verneinen Sie die Aussage
$\begin{eqnarray*} \exists a \in \mathbb R : \forall b \in \mathbb R : f(a) = f(b) \leftrightarrow a^2 = b \end{eqnarray*}$ "

(Es soll kein Negationszeichen vorkommen)

Stehen in der Aufgabe wirklich Doppelpunkte zwischen den Quantoren? verwirrt

Zitat:

Original von eierkopf1

Meine Lösung:
$\begin{eqnarray*} \forall a \in \mathbb R : \exists b \in \mathbb R : \neg (f(a) = f(b) \leftrightarrow a^2 = b) \end{eqnarray*}$

umformen:
$\begin{eqnarray*} \forall a \in \mathbb R : \exists b \in \mathbb R : f(a) \neq f(b) \leftrightarrow a^2 = b \end{eqnarray*}$

Sollte stimmen, oder?

Der erste Teil ja, aber beim zweiten hast Du die Äquivalenz falsch negiert. Wie kommst Du auf

$\begin{eqnarray*} \neg(A \leftrightarrow B) = \neg A \leftrightarrow B \end{eqnarray*}$

?

05.10.2008, 22:20

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation von Quantoren
Ja. Es stehen Doppelpunkte in der Angabe!

Zur Negation:

Laut Wahrheitstabelle komme ich aufs selbe:

$\begin{eqnarray*} \neg (A \leftrightarrow B) = \neg A \leftrightarrow B = A \leftrightarrow \neg B \end{eqnarray*}$

05.10.2008, 22:33

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation von Quantoren

Zitat:

Original von eierkopf1

Zur Negation:

Laut Wahrheitstabelle komme ich aufs selbe:

$\begin{eqnarray*} \neg (A \leftrightarrow B) = \neg A \leftrightarrow B = A \leftrightarrow \neg B \end{eqnarray*}$

Sorry, Du hast natürlich Recht. Also stimmt Dein Ergebnis.

Mit dem Rest (Doppelpunkte) sollte lieber jemand anderes weitermachen. Wink

05.10.2008, 23:51

Urza

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Doppelpunkt soll ausdrücken, dass der Quantor sich auf das bezieht, was dahinter steht. Manchmal schreibt man (informal) den Allquantor auch hinter das, worauf er sich bezieht, also zum Beispiel
" $\begin{eqnarray*} \ \text{Wenn} \ f(x)=0 \ \forall x \in [0,1]\text{, dann ist f die Nullfunktion} \end{eqnarray*}$ "
Dort würde man das vielleicht der anderen Möglichkeit (erst den Allquantor schreiben) vorziehen, weil man eher den Teil "f(x)=0" betonen will oder weil man es aus irgendwelchen Gründen als sprachlich schöner ansieht. Logisch gesehen macht es keinen Unterschied.
Das mit dem Allquantor nach hinten schreiben tut man im Übrigen normalerweise nur, wenn keine weiteren Quantoren in der Formel vorkommen, weil es sonst unübersichtlich wäre. Daher sieht man auch ohne die Doppelpunkte immer, wie der Quantor gemeint ist.
D.h. man kann sie dazuschreiben (wenn man es so übersichtlich findet) oder weglassen wie man will.

Davon abgesehen: Wenn man formal logische Formeln definiert, stehen alle Quantoren immer vor dem Formelteil, auf den sie sich beziehen.

Neue Frage »

Antworten »

Negation von Quantoren

Verwandte Themen