Integrationsfehler für NCF berechnen

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsfehler für NCF berechnen
Ich möchte den Integrationsfehler für die Trapezregel berechnen. Dabei enspricht diese Regel der Integration eines Interpolationspolynoms vom Grad 1. Es gilt:




Aus der Gestalt des Interpolationsfehler ergibt sich zunächst (f in C²([a,b]) vorausgesetzt):




Bis hierhin ist alles klar. Nun möchte ich die Ableitung vor das Integral bekommen. Dazu benötigt man den verallgemeinerten Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Dabei ist:



  • ist stetig

  • damit ist auf dem Kompaktum [a,b] beschränkt



Somit kann man den Satz anwenden, und es gibt ein , welches nicht mehr von x abhängt mit:



richtig argumentiert? Schläfer
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationsfehler für NCF berechnen
push Ups Ist der Satz unbekannt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationsfehler für NCF berechnen
Tränen Wer kann helfen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationsfehler für NCF berechnen
Ich denke ich habe den Satz richtig angewandt. Damit lassen sich auch einige Quadraturfehler "exakt" angeben, bis auf eben das xi, das aber zumindest für alle x in [a,b] gilt.

In den meisten skripten steht gar keine Erklärung, bei abschätzenden Formeln auch nicht tragisch, da man den Faktor mit dem xi abschätzen kann. Integral berechnen - lästig, aber machbar.

nun aber was, wenn man eine Gleichheit formulieren will. Mit dem angegebenen Rezept dem die Bemerkung folgt "und auf diese Weise lassen sich die anderen NCF-Fehler" beweisen, scheitere ich. Der Trick funktioniert imho nämlich nur bei geradem n. Was aber, wenn n ungerade?

Ich schreibe gleich die erste Formel, wo es nicht mehr hinhaut. Pulccherima oder 3/8-Regel. Es soll gelten:



Nun sieht der Fehler erstmal so aus:



Mit linearer Transformation könnte man das imho schon einmal auf diese Gestalt bekommen:



Nur hat nun die Produktfunktion ()()()() Vorzeichenwechsel auf [0,1]. Daher kann ich ja nicht den im ersten Post verwendeten Satz anwenden. Interessanter weise ist...



genau der für die Formel benötigte Faktor.... Aber wie bekommt man das vor das Integral...
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