Haupt und Eigenraum

10.07.2006, 14:37	Blob	Auf diesen Beitrag antworten »
Haupt und Eigenraum Hallo, mir ist gerade aufgegangen, dass mir nicht wirklich klar ist, wo der Unterschied zwischen einem Haupr und einem Eigenraum liegt. Bin immer davon ausgegangen, dass der Eigenraum der Raum ist, der von den Eigenvektoren aufgespannt wird und der Hauptraum irgendetwas mit dem Minimalpolynom zu tun hat. Aber was genau????????? (Bin irgendwie immer davon ausgegangen, dass der hauptraum der raum ist, der von den ich nenne sie mal eigenvektoren des Minimalpolynoms aufgespannten vektoren ist) passt das so oder wo liegt der fehler? Wäre nett, wenn mir das jemand erläutern könnte. Danke
10.07.2006, 16:12	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
also der Eigenraum von einer Matrix A zum Eigenwert lambda ist ja so definiert: $\begin{eqnarray} Ker (A - \lambda id) \end{eqnarray}$ und der Hauptraum ist so definiert: $\begin{eqnarray} \{v \in V \| \text { es existiert ein } n \in \mathbb N \text{ mit: } (A - \lambda id )^n v = 0 \} \end{eqnarray}$ also ist der Hauptraum sowas wie die Erweiterung vom Eigenraum... jedenfalls müsste klar sein, dass der Eigenraum immer ein Unterraum vom Hauptraum ist ( einfach für n = 1 ). wie habt ihr denn den Hauptraum definiert?
10.07.2006, 16:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Haupt und Eigenraum Sei $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert des Endomorphis $\begin{eqnarray} F: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ , dann ist ein Eigenraum $\begin{eqnarray} Eig(F; \lambda) = {v \in V \| F(v) = \lambda v} = Ker(F-id_{v}) \end{eqnarray}$ ein Unterraum von V Bei dem Hauptraum ist die entscheidende Idee, Potenzen von $\begin{eqnarray} F - \lambda \cdot id_{v} \end{eqnarray}$ zubretrachten und folgenden Unterraum von V zu definieren: $\begin{eqnarray} Hau(F; \lambda) = \bigcup_{s=1}^{\infty} Ker(F-id_{v})^{s} \end{eqnarray}$
10.07.2006, 19:10	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Netterweise ist dabei immer Kern(....)^n ein Teilraum von Kern(.....)^{n+1} und somit, wenn der Kern nach endlich vielen Schritten nicht mehr größer wird, in diesem letzten Kern alles enthalten, was den Hauptraum ausmacht. Insbesondere ist das bei endlichdimsnionalem Vektorraum V nach endlich vielen Schritten der Fall, was die letzte Darstellung von Tigerbine deutlich vereinfacht. In Worten dann: "Das erste n, so dass der Kern von ....^n nach ....^{n+1} nicht mehr größer wird, liefert den Hauptraum. Dieser ist dann der Kern von ....^n." Das besagt übrigens auch, dass, wenn der Kern einmal nicht größer wird, er das auch später nicht mehr werden kann. Im unendlichdimensionalen könnte man da schon auf die Fre**e fallen, denn dabei kann der Kern einfach eben nicht aufhören, größer zu werden. Aber im Falle mit Darstellungsmatrizen, den man bei diesen Aufgaben ja meistens hat, kommt man damit gut zu Recht, denn da braucht man endliche Dimension. Insbesondere kann man sich dann auch schnell eine obere Schranke für obiges n überlegen. PS: korrigiert mich, wenn ich was dummes sage. PPS: die .... oben musst du je geeignet ausfüllen, da war ich zu faul PPPS: achja, da sind einige Aussagen drin, die könnte man natürlich beweisen, aber hier sind se nur hingeschrieben - stimmen sollten sie trotzdem... EDIT: achja, wenn du dich an Kern/Eigenraum störst, dann kannst du das ganze natürlich entsprechend umformulieren hier. Da war ich auch unsauber, siehe PPS.

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