Aufgabe aus Analysis I (Beweis von Ungleichungen)

06.10.2008, 14:31

Bredl

Aufgabe aus Analysis I (Beweis von Ungleichungen)

Hallo,

ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe aus der Analysis I:

Die folgende Aufgabe bringt mich zur Verzweiflung:

Beweisen Sie, dass für alle positiven reellen Zahlen x und h mit h < 8x die Ungleichungen
Wurzel(x) + h/2Wurzel(x) - h^2/8xWurzel(x) < Wurzel(x+h) < Wurzel(x) + h/2Wurzel(x)
gelten.

Nehme ich
Wurzel(x) + h/2Wurzel(x) - h^2/8xWurzel(x) < Wurzel(x) + h/2Wurzel(x)
so kann ich das in h>0 umformen. Aber weiter komm ich nicht :o(

Ist der Ansatz so überhaupt richtig, die Gleichungen irgendwie nach x oder h aufzulösen?

Für Hilfe, wie ich das angehen kann, wäre ich sehr dankbar ...

06.10.2008, 14:41

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Fangen wir damit an, die zu beweisende Ungleichung leserlich hinzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} + \frac{h}{2}\sqrt{x} - \frac{h^2}{8}x\sqrt{x} < \sqrt{x+h} < \sqrt{x} + \frac{h}{2}\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Ist es das, was du meinst? verwirrt

Ich denke mal, dass die eine oder andere Wurzel unter den Bruchstrich gehört, was deiner Schreibweise ohne Klammern leider nicht entnehmbar ist...

06.10.2008, 14:45

Allesreiniger

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RE: Aufgabe aus Analysis I (Beweis von Ungleichungen)
hi,
die "beiden Seiten der Ungleichung unterscheiden sich nur durch den Ausdruck h^2/8xwurzelx , dieser wird von den davor stehenden ausdrücken "abgezogen", d.h. du musst lediglich beweisen, dass dieser ausdruck > 0 ist! wenn ich mich nicht ihre! unter der restriktion, dass h> 8x ist!, dadurch, das du wurzel in deiner ungleichung verballert hast, kann x schon mal nicht negativ sein, da dies sonst nicht definiert ist!

wenn du noch ne frage hast, melde dich

06.10.2008, 14:47

Bredl

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sorry, bin neu hier.

so soll es aussehen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} + \frac{h}{2\sqrt{x}} - \frac{h^2}{8x\sqrt{x}} < \sqrt{x+h} < \sqrt{x} + \frac{h}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

06.10.2008, 14:50

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Wohl eher

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} + \frac{h}{2\sqrt{x}} - \frac{h^2}{8x\sqrt{x}} < \sqrt{x+h} < \sqrt{x} + \frac{h}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ .

Versuch doch mal, die Behauptung umzuformen, naheliegenderweise durch Quadrieren. Ob das eine äquivalente Umformung ist, das gilt es natürlich zu diskutieren...

06.10.2008, 15:02

Allesreiniger

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bin ich gerade dabei, bin mir aber nicht sicher ob quadrieren zulässig ist...
was man narürlich mal probieren könnte, wäre sie dahin gehend umzuformen, das man h = 8x setzt und aus kleiner größer gleich macht und so über den gegenbeweis der sache näher kommt

06.10.2008, 15:07

Bredl

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über das setzen von h=8x hab ichs auch mal probiert, dass geht auch auf und man erhält zum beispiel 3<5. nur gilt das dann als beweis??

06.10.2008, 15:18

Allesreiniger

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grundsätzlich schon!

nur musst du beachten, das da h echt größer 8x steht...
ich probiere mal weiter, vielleicht hat da ja noch jemand ne idee! wofür brauchst du das? sind doch noch ferien!

06.10.2008, 15:23

Bredl

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ich habn fernstudium angefangen, und da kriegt man die sachen etwas früher zugeschickt. und da ich das neben dem beruf mache, was mich zeitlich sehr eingrenzt, habe ich sozusagen keine ferien ^^

06.10.2008, 15:23

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Zitat:

Original von Allesreiniger
bin ich gerade dabei, bin mir aber nicht sicher ob quadrieren zulässig ist...

Ein Denkanstoss zur Äquivalenz:

Es geht hier ja erstmal nur um die Umformung der Behauptung, in einem sauberen Beweis verlaufen die Schritte in umgekehrter Richtung. In dieser umgekehrten Richtung müssen das nicht alles Äquivalenzen sein, es reichen auch Implikationen...

Konkret, wenn wir linken und rechten Term mal $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nennen:

Wenn der Nachweis $\begin{eqnarray*} u^2 < v^2 \end{eqnarray*}$ gelänge, dann folgt daraus $\begin{eqnarray*} |u|<|v| \end{eqnarray*}$ . Gilt zuätzlich noch $\begin{eqnarray*} v\geq 0 \end{eqnarray*}$ , so kann man dann auch

$\begin{eqnarray*} v = |v| > |u| \geq u \end{eqnarray*}$

folgern.

Zitat:

Original von Allesreiniger
was man narürlich mal probieren könnte, wäre sie dahin gehend umzuformen, das man h = 8x setzt

Bringt beweistechnisch gesehen äußerst wenig: Dann hast du nur einen Spezialfall bewiesen, der sich (für mich) nicht erkennbar auf den allgemeinen Fall übertragen lässt. unglücklich

06.10.2008, 15:36

tmo

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Zitat:

Original von Allesreiniger
ich probiere mal weiter, vielleicht hat da ja noch jemand ne idee!

Die zweite Ungleichung bedarf keiner großen Idee und bei der ersten kann die dritte binomische Formel Wunder bewirken.

Wo man die da gebrauchen kann, fällt vielleicht auf, wenn man erstmal die zweite beweist. Dass quadrieren bei dieser Ungleichung eine Äquivalenzumformung darstellt, ist doch recht offensichtlich, es geht schließlich nur um positive reelle Zahlen.

Dass auch bei der ersten Ungleichung quadrieren kein Problem darstellt (obwohl die linke Seite durchaus negativ sein kann), hat Arthur Dent ja schon beschrieben.

06.10.2008, 15:36

Allesreiniger

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da hast du wohl recht, nur verstehe ich gerade nciht, wieso ich beweisen konnte, das für h = 8x gilt

-3wurzelx < 3wurzelx < 4,5wurzelx

müsste aus der aufgabenstellung her ja nciht möglich sein! und ich habe jetzt nur x 8x angeneähert, sprich h = 8x gesetzt und vereinfacht!

06.10.2008, 16:21

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Etwas anderes noch: Man kann sich hier etwas Schreibarbeit sparen, indem man die ganze Doppelungleichung durch die positive Zahl $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ dividiert, und dann gleich mal $\begin{eqnarray*} z=\frac{h}{x} \end{eqnarray*}$ substituiert. Dann ist der Beweis deiner Ungleichung äquivalent zu dem von

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{z}{2} - \frac{z^2}{8} < \sqrt{1+z} < 1 + \frac{z}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 < z < 8 \end{eqnarray*}$ .

Z.B. schon mal nur eine statt zwei Variablen. Augenzwinkern

07.10.2008, 09:32

Bredl

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Danke schon mal für die Hilfe!!!

Die 2. Ungleichung habe ich nach folgendem Muster bewiesen, ist das so zulässig?

$\begin{eqnarray*} 0 < h \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} 0 < h^2 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} 0 < \frac{h^2}{4x} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} x + h < \frac{h^2}{4x} + x + h \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} x + h < (\sqrt{x} + \frac{h}{2\sqrt{x}})^2 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \sqrt{x + h} < \sqrt{x} + \frac{h}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Bei der 1. komm ich allerdings nich weiter, hab schon nen halben Block verkritzelt Hammer

...

07.10.2008, 11:20

tmo

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Der Beweis der zweiten Ungleichung ist jetzt sauber aufgeschrieben Freude

Zu der ersten:

Die ist äquivalent zu:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x}+\frac{h}{2\sqrt{x}})-\sqrt{x+h}<\frac{h^2}{8x\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite gilt es nun die dritte binomische Formel anzuwenden (Erweitern!).

Denn bekanntlich (die Erfahrung hat man beim Beweis der zweiten Ungleichung gewonnen) fällt da viel weg, wenn man erstmal quadriert hat.

07.10.2008, 12:03

Bredl

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habe jetzt nach dem ich das 3. binom angewendet habe auf 2x<h vereinfachen können, aber wie jetzt diese aussage aus den grundaussagen herleiten??

07.10.2008, 12:12

tmo

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Hmm du musst irgendwo einen Fehler gemacht haben. Zeige doch mal deinen Rechenweg.

Zur Kontrolle: ich komme nach ein bisschen Äquivalenzumformung auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x}+\frac{h}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x+h}} < \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Dass diese Aussage für positive x,h wahr ist, ist nicht schwer einzusehen.

07.10.2008, 13:53

Bredl

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Ich hab so angefangen:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x} + \frac{h}{2\sqrt{x}}) - \sqrt{x + h} < \frac{h^2}{8x\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((\sqrt{x} + \frac{h}{2\sqrt{x}}) - \sqrt{x + h}) ((\sqrt{x} + \frac{h}{2\sqrt{x}}) + \sqrt{x + h}) < (\frac{h^2}{8x\sqrt{x}}) ((\sqrt{x} + \frac{h}{2\sqrt{x}}) + \sqrt{x + h}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x} + \frac{h}{2\sqrt{x}})^2 - (x + h) < \frac{h^2}{8x} + \frac{h^2\sqrt{x + h}}{8x\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

wie bist du denn vorgegangen?

07.10.2008, 14:04

Bredl

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ich habe meinen fehler grad gefunden ... Hammer

besten dank!!!

jetz kann ich das heute abend vernünftig zu papier bringen ^^

wo seid ihr eigntlich her und inwiefern betreibt ihr mathe?

07.10.2008, 14:12

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Alternativer Lösungsweg: Wenn man sich die Taylorentwicklung von $\begin{eqnarray*} f(z)=\sqrt{1+z} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ anschaut, kann man natürlich auch diese nutzen. Und zwar die Entwicklung bis zur ersten Potenz, mit Restglied der zweiten Potenz

$\begin{eqnarray*} f(z) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}z + \frac{f''(\vartheta z)}{2!}z^2 \end{eqnarray*}$

mit von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ abhängigem $\begin{eqnarray*} \vartheta \in (0,1) \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} f'(z) = \frac{1}{2\sqrt{1+z}} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f''(z) = -\frac{1}{4\sqrt{(1+z)^3}} \end{eqnarray*}$ ergibt das

$\begin{eqnarray*} f(z) = 1 + \frac{z}{2} - \frac{z^2}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{(1+\vartheta z)^3}} \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} 0 < \frac{1}{\sqrt{(1+\vartheta z)^3}} < 1 \end{eqnarray*}$ folgt die zu zeigende Doppelungleichung unmittelbar, sogar für alle positiven $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , nicht nur für $\begin{eqnarray*} 0 < z < 8 \end{eqnarray*}$ .

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