Differentialgleichung 3. Ordnung mit Resonanz

10.07.2006, 18:17	flipmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung 3. Ordnung mit Resonanz Hallo, ich stehe vor folgender Aufgabe, bei der ich nur auf einen Teil der Lösung komme: $\begin{eqnarray} y'''+y''-2y'=e^x \end{eqnarray}$ Die homogene DGL konnte ich lösen. Dabei erhält man dann die Nullstellen: x1 = 0; x2 = 1; x3 = -2; Nun ist ja c = 1 = x2; also herrscht Resonanz. Wenn ich nun den Ansatz für die Partikuläre Lösung mit einfacher Resonanz $\begin{eqnarray} y_{p} = A * x * e^{cx} \end{eqnarray}$ nehme und alles druchrechne, bekomme ich nur einen Teil der Partikulären Lösung. Als Ergebniss soll das hier rauskommen: $\begin{eqnarray} y = c_{1} + c_{2} e^x + c_{3} e^{-2x} + \frac{4}{9} e^x + \frac{1}{3} x e^x \end{eqnarray*}$ Ich hoffe auf euere Hilfe! MFG
10.07.2006, 20:45	sax	Auf diesen Beitrag antworten »
Als partikuläre Lösung reicht schon $\begin{eqnarray} y_{p} = \frac{1}{3} x \exp(x) \end{eqnarray}$ Wenn du das einsetzt, erfüllt das die Dgl. Der andere Teil $\begin{eqnarray} \frac{4}{9} e^x \end{eqnarray}$ kann mit in die homogene Lösung gesteckt werden, du kannst ja z.B setzen: $\begin{eqnarray} c_2 = (\tilde{c}_2-\frac{4}{9}) \end{eqnarray}$ Dann fällt der entsprechende Term weg. Es ist ja so, dass die allgemeine Lösung einer linearen DGL, die Lösung der homgenen Gleichung plus eine partikuläre Lösung ist. Ich kann mir aber beliebig viele partikuläre Lösungen erzeugen, indem ich einfach die allgemeine Lösung nehme, mir irgendwelche Werte für die konstanten definiere, das erfüllt in jedem Fall die DGL und ist damit eine partikuläre Lösung. Eleganter ist es natürlich, nur die Teile, die nicht als Teil der homogenen Lösung geschrieben werden können, als partikuläre Lösung anzugeben.
11.07.2006, 09:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Euch beiden ein herzliches hier im Board. @sax Bei dir ist die Begrüßung etwas spät erfolgt, bist ja schon ein paar Wochen hier. Angesichts der hohen Qualität deiner Beiträge (vor allem zu DGL) hoffe ich aber, dass du auch in Zukunft öfter mal reinschaust.

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