Verschoben! Textaufgabe Vektoren / Ebenen

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Delgado Auf diesen Beitrag antworten »
Textaufgabe Vektoren / Ebenen
Hallo zusammen ,sitze zurzeit an einer Textaufgabe zum Thema Vektoren / Ebenen und deren Lage. Ich habe allerdings nicht wirklich viel Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen kann, obwohl ich bislang beim alleinigen rechnen solcher Aufgaben eigentlich seltener große Schwierigkeiten hatte.

Also die Aufgabe lautet:

Um 9:06 Uhr hebt ein Flugzeug 1 im Punkt A (0|-16|0) ab. Vier Minuten später befindet es sich im Punkt B (0|0|2). Flugzeug 2 befindet sich um 9:09 Uhr im Punkt C (12|0|4) und zwei Minuten später im Punkt D (6|8|4). Die Koordinaten der beiden Flugzeuge sind Angaben in Kilometer (km).
Zur Vereinfachung wird angenommen, dass beide Flugzeuge mit konstanter Geschwindigkeit fliegen und dass die Flugbahnen Geraden sind.

a) Veranschaulichen Sie die Flugbahnen der beiden Flugzeuge in einem Schwägbild.

b) Zeigen Sie (durch Rechnung), dass sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge zwar schneiden, aber kein Zusammenstoß stattfindet!

c) Wie groß ist der minimale Abstand der beiden Flugzeuge?
Handelt es sich nach der Definition der Skyguide um einen Airprox?
Um welche Uhrzeit (auf Sekunden gerundet) wird dieser Abstand eingenommen?


Also zu a) habe ich mir gedacht, dass man die Geradengleichung aufstellen muss also
x: OA + alpha (OB-OA) bzw. dann auch für die zweite Gerade das gleiche und dann einfach ins Koordinatensystem eintragen?

Bei b) und c) habe ich noch nichtmals einen Ansatz, kann mir darunter einfach nichts vorstellen.

Für Tipps und Ansätze wäre ich sehr dankbar! smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

a)
So ist es, die Gleichungen der Geraden entsprechen den Flugbahnen. Sie bezeichnen beliebige Punkte auf ihnen, jedoch im Allgemeinen nicht jenen Ort, an dem sich die Flugzeuge momentan befinden.

b)
Der Schnittpunkt der Flugbahnen ist mittels Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen zu bestimmen.

Der momentane Standort des Flugzeuges wird durch den Geschwindigkeitsvektor, d.i. der Richtungsvektor auf der Geraden, dessen Anfangs und Endpunkt zeitlich genau eine Minute auseinanderliegen, festgelegt. Dadurch kann ermittelt werden, wann sich das erste Flugzeug exakt im Schnittpunkt der beiden Bahnen befindet und wo zu diesem Zeitpunkt das andere Flugzeug ist.

c) Hinweis: Es gibt eine einfache Formel für den kürzesten Abstand zweier kreuzender Geraden (wurde hier im Board schon mehrmals behandelt).

mY+
Delgado Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
a)
So ist es, die Gleichungen der Geraden entsprechen den Flugbahnen. Sie bezeichnen beliebige Punkte auf ihnen, jedoch im Allgemeinen nicht jenen Ort, an dem sich die Flugzeuge momentan befinden.



Ok danke schonmal, also denke ich die Teilaufgabe a) verstanden zu haben.

Zitat:
Original von mYthos
b)
Der Schnittpunkt der Flugbahnen ist mittels Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen zu bestimmen.


Wenn ich die beiden Gleichungen gleichgesetzt habe, wie sehe ich dann bzw. wie beweise ich, dass es einen Schnittpunkt gibt? An der Anzahl der Lösungen? Dann müsste es doch bei genau einer Lösung so sein, oder irre ich mich da? Bei unendlich vielen Lösungen hätte ich doch identische Graden und bei keiner Lösung würden die Graden sich nicht schneiden, richtig? Aber irgendwie verstehe ich nicht wie das funktionieren soll mit 2 Skalaren?

Zitat:
Original von mYthos

Der momentane Standort des Flugzeuges wird durch den Geschwindigkeitsvektor, d.i. der Richtungsvektor auf der Geraden, dessen Anfangs und Endpunkt zeitlich genau eine Minute auseinanderliegen, festgelegt. Dadurch kann ermittelt werden, wann sich das erste Flugzeug exakt im Schnittpunkt der beiden Bahnen befindet und wo zu diesem Zeitpunkt das andere Flugzeug ist.



Ich verstehe hier nicht,wie man auf genau eine Minute kommt? Muss meiner Meinung nach aufjedenfall was mit den Punkten A bis D zutun haben?


Zitat:
Original von mYthos
c) Hinweis: Es gibt eine einfache Formel für den kürzesten Abstand zweier kreuzender Geraden (wurde hier im Board schon mehrmals behandelt).

mY+



Ich werde nach dieser Formel aufjedenfall gleich mal suchen, gibt es nur diese Möglichkeit mit der Formel, oder gibt es dazu noch eine andere Variante?

Danke schonmal für diese sehr gute Hilfe, finde ich klasse so!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du eigentlich die Geradengleichungen* (in Parameterform: Vetor x = ...) schon aufgestellt? Wie sehen diese bei dir aus? Darin solltest du je einen Parameter als Multiplikator des entsprechenden Richtungsvektors stehen haben. Beim zeilenweise Gleichsetzen (des Vektors x) entsteht dann ein lineares Gleichungssystem von 3 Gleichungen in 2 Variablen (den beiden Parametern). Bereits zwei dieser Gleichungen genügen zur Ermittlung der Lösung, welche, in die dritte Gleichung eingesetzt, auch diese erfüllen müssen, soll es einen Schnittpunkt geben.

Zum Geschwindigkeitsvektor: Wenn du (beim Flugzeug 1) den Vektor AB bestimmst und diesen durch 4 dividierst, dann ist dieser der Verschiebungsvektor, um welchen das Flugzeug pro Minute seine Position ändert. Diesen Vektor, multipliziert mit einem Faktor t1, welcher die verstrichene Zeit seit 9:06 h in Minuten darstellt, setzt du daher im Punkt A an. In der entsprechenden Geradengleichung stellt der Parameter t1 dann direkt die Anzahl der seit 9:06 h verstrichenen Minuten dar. Analog gehst du beim Flugzeug 2 vor.

c)
Es gibt mehrere Verfahren zur Bestimmung dieses Abstandes:
- Hilfsebene einführen
- geschlossener Vektorzug
- u.s. Formel, wobei man wissen sollte, wie diese zustande kommt;







mit



*
Für das Schrägbild alleine brauchst du die Geradengleichungen nicht. Darin kannst du einfach die Punkte einzeichnen und entsprechend verbinden.

mY+
Delgado Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank wieder für deine ausführliche Antwort, find ich wirklich sehr bemerkenswert, sind sehr gute Tipps und Anregungen dabei wie ich finde!

Also die beiden Gleichungen habe ich bislang so errechnet:

und




Sind diese soweit richtig? Wie komme ich eigentlich auf ein Gleichungssystem mit Drei Gleichungen?

Danke soweit schonmal!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du für jede Komponente eine Gleichung schreibst. x als Variable ist eh unglücklich gewählt. Allenfalls x mit Vektorpfeil würde ich noch gelten lassen, wobei klar sein sollte, daß dieser Vektor aus x-, y- und z-Komponente besteht.
 
 
Delgado Auf diesen Beitrag antworten »

Ok habe nun das Gleichungssystem so aufgestellt:







Daraus ergibt sich dann für die Parameter t, r:



Wenn ich das in die mittlere Gleichung einsetze, sehe ich, dass
also Richtig ist! Also muss es ja nun einen Schnittpunkt geben!

Doch ich verstehe irgendwie immer noch nicht, was mYthos mit diesem hier genau meint?

Zitat:

Zum Geschwindigkeitsvektor: Wenn du (beim Flugzeug 1) den Vektor AB bestimmst und diesen durch 4 dividierst, dann ist dieser der Verschiebungsvektor, um welchen das Flugzeug pro Minute seine Position ändert. Diesen Vektor, multipliziert mit einem Faktor t1, welcher die verstrichene Zeit seit 9:06 h in Minuten darstellt, setzt du daher im Punkt A an. In der entsprechenden Geradengleichung stellt der Parameter t1 dann direkt die Anzahl der seit 9:06 h verstrichenen Minuten dar. Analog gehst du beim Flugzeug 2 vor.


Das ist doch die Hilfe zum Beweis, dass kein Zusammenstoß stattfindet?
Aber da stellen sich mir viele Fragen, zum Beispiel welcher Faktor t1 ist gemeint? Und wie setze ich im Punkt A an?

Danke bislang! smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Delgado
...
Daraus ergibt sich dann für die Parameter t, r:



Wenn ich das in die mittlere Gleichung einsetze, sehe ich, dass
also Richtig ist! Also muss es ja nun einen Schnittpunkt geben!
...


Und wie lautet dieser nun? Diesen (S) brauchst du ja, um festzustellen, wenn sich ein Flugzeug (zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt) gerade dort befindet, wo dann das andere Flugzeug - zum selben Zeitpunkt - ist.

Also sagt dies nichts anderes aus, als dass der Zeitpunkt der Schlüssel ist, um die jeweilige Position der Flugzeuge festzustellen.

Und ich habe dir ja auch geschrieben, was die Parameter t1 und t2 bedeuten, es sind Zeiten in Minuten, die mit dem jeweiligen Geschwindigkeitsvektor (auch das habe ich ausführlich beschrieben) verknüpft sind.

Ich denke, du solltest die Erklärungen besser bzw. genauer lesen ...

--------------------

Mit diesen Informationen solltest du eigentlich weiterkommen, aber ich zeige dir das dennoch an Hand des Flugzeuges 1, welches sich um 9:06 h in A befindet. Pro Minute verändert es seine Position um den Vektor (0; 4; 1/2), also lautet die Bahngleichung mit t1 als Zeitdauer in Minuten (ab 9:06 h) und ab dem Punkt A:



Wann ist diese Maschine nun in S? Dazu setzt du den vorhin errechneten Schnittpunkt statt ein, berechnest daraus t1 und addierst diese Zeit zu 9:06 h.

Bei der zweiten Maschine kann man analog vorgehen, also ebenfalls errechnen, wann diese sich am Ort S befindet. Sind die Uhrzeiten verschieden, so findet kein Zusammenstoß statt. Alternativ dazu kann man auch ermitteln, wo die zweite Maschine gerade ist, wenn sich die erste in S befindet. Ist dieser Ort von S verschieden, puh - dann ist es nochmal gut gegangen.

Zu c)

Hinweis:
Die in meinem letzten Post bei c) genannten Beziehungen für den kürzesten Normalabstand brauchst du nur dann, wenn sich die Flugbahnen kreuzen. Dies tun sie in diesem Beispiel nicht, denn sie haben, wie bereits erwähnt, einen Schnittpunkt (der Abstand ist demnach 0).

Die Bahngleichungen der beiden Maschinen mit den zeitlichen Parametern t1 und t2 (die Richtungsvektoren sind die minütlichen Verschiebungsvektoren, wie ebenfalls bereits erklärt) müssen auch herangezogen werden, wenn man feststellen will, wann und wo die beiden Flugzeuge sich am nächsten sind, also die kürzeste Entfernung voneinander haben. Diese Entfernung ist nicht identisch mit dem kürzesten Abstand der beiden (physikalischen) Flugbahnen*. Der erste ist "dynamisch" bzw. zeitabhängig, hängt also von den Anfangsbedingungen und der Bewegung der Flugzeuge ab, der zweite "statisch", also ein Abstand, der nur von der Lage der Flugbahnen bestimmt ist. Du musst also ersteren bestimmen (Tipp: Distanz einer Extremwertberechnung unterziehen).

*Dieser ist hier ohnehin gleich Null, weil sich die Bahnen definitiv schneiden.

mY+
Delgado Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal wieder ein großes Dankeschön!

Ich melde mich erst nun, weil ich die letzen beiden Tage sehr viel noch erledigen musste, nun kann ich mich wieder voll auf diese Aufgabe konzentrieren.
Habe mir deinen Beitrag nun sehr oft durchgelesen und denke ich habe das Prinzip auch verstanden.

Zu b)

Die Parameter t1 und t2 sind also die beiden Zeiten in Minuten, die ich nun errechnen muss um die Aufgabe dann zu lösen. Auch habe ich nun den Sinn vom Verschiebungsvektor verstanden und wieso man Punkt A als Vektor nehmen muss habe ich auch verstanden. Nun fehlt es mir [wahrscheinlich] einfach nurnoch an der praktischen Umsetzung unglücklich

Ich habe für den Schnittpunkt also nun



also



Da du geschrieben hast man muss in die Bahngleichung für das dann also den Schnittpunkt einsetzen, habe ich daraus dann

bekommen.

So nun hab ich wieder ein Problem, vielleicht denke ich einfach zu kompliziert,also du sagtest ja, ich soll nach t1 auflösen, ich würde dann so ein Gleichungssystem aufstellen:







daraus folgt dann :







Aber das kann doch nicht stimmen wenn die erste Gleichung 0=0 lautet oder ?

Danke schonmal ! smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Alle letzten 3 Zeilen sind richtige Aussagen, auch 0 = 0. Wenn du in die erste Zeile für t1 = 8 einsetzt, bekommst du genauer:

0 = 0 + 8*0

also erfüllt die Lösung auch die erste Zeile.

Übrigens, zur Info, die beiden Fluzeuge verfehlen sich genau um 1 Minute (9:14 h, 9:13 h).

mY+
Delgado Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir, habe nun Aufgabe b) komplett verstanden habe genau die beiden Uhrzeiten und die Minute unterschied errechnet.

Werde mich nun an Aufgabenteil c) heranwagen, durch deine Beschreibungen und Hilfen hoffe ich es nun schaffen zu können!

smile
Delgado Auf diesen Beitrag antworten »

Ok habe nun wieder direkt ein Problem unglücklich

Ich habe die beiden Bahngleichungen

Flugzeug 1:

Flugzeug 2:

mit den Richtungsvektoren als Verschiebungsvektoren. Du sagtest ja, ich muss nun eine Extremwertberechnung durchführen. Muss ich nun also die beiden Bahngleichungen gleichsetzen und nach einem der beiden Parameter auflösen?
Oder werden t1 und t2 zu einem gemeinsamen Parameter t zusammengefasst? verwirrt

Tut mir wirklich auch mittlerweile Leid wenn ich immer so vermutlich dumme Fragen stelle!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen beiden Gleichungen sind keine, denn es fehlt links der (allg.) Ortsvektor .

Das Gleichsetzen der Bahngleichungen liefert doch nur den Schnittpunkt ... . So kann das also nicht gehen. Statt auf t1 und t2 auf einen gemeinsamen Parameter t zu wechseln, das ist schon eher der richtige Weg. Wir vereinbaren, dass t den Zeitpunkt 9:09 h kennzeichnen soll (genauso gut könnte dies auch für 9:06 h getan werden).

Hast du dir eigentlich schon überlegt, welche Größe überhaupt ein Minimum sein soll? Es muss die Distanz der beiden Flugzeuge sein.

Dazu müssen die Positionen der beiden Maschinen zu diesem bestimmten Zeitpunkt t bekannt sein. Wie gesagt, es sei t jene Zeit in Minuten, welche seit 9:09 h vergangen ist, sie ist gleichzeitig auch für das Flugzeug 2, das zu dieser Zeit in B ist, maßgebend. Da das Flugzeug 1 schon um 9:06 in A war, also 3 Minuten früher, ist für dieses im Vergleich zu t (diese Zeit gilt ab 9:09) die Zeit t + 3 maßgebend (die 1. Maschine ist 3 Minuten länger unterwegs gewesen).

Du hast also deine beiden letzten Gleichungen nur so umzuschreiben, dass statt t1 -> t + 3 und statt t2 -> t eingetragen wird und dann die Distanz der Endpunkte der beiden Ortsvektoren zu minimieren. Dazu noch ein Tipp: Wenn die Distanz ein Minimum werden soll, dann tut es auch deren Quadrat, d.h. du kannst dir die Ableitung der Quadratwurzel ersparen.

mY+

Zu airprox (near miss) [skyguide]:

Die Mindestabstände in der Luft
Flugzeuge müssen Mindestabstände einhalten:
• Horizontal auf gleicher Höhe: 5 nautische Meilen (9 Kilometer)
• Vertikal (nach oben und unten): 1 000 Fuss (300 Meter)
• Im Landeanflug: 3 nautischen Meilen (5,5 Kilometer)
Delgado Auf diesen Beitrag antworten »

Ok alles klar habe die Aufgabe geschafft und heute in der Schule freiwillig vorgestellt smile

Danke dir!!
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