Irreduzibilität in Q[t]

06.10.2008, 21:12

jodi

Irreduzibilität in Q[t]

Hallo,

ich habe Schwierigkeiten mit dem Bestimmen von (Ir)Reduzibilität. Hier eine Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob
$\begin{eqnarray*} f=t^4+4t+1 \in \mathbb{Z}[t] \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist.

Mein Ansatz benutzt das Reduktionskriterium mit der Primzahl 3.
Damit erhalten wir
$\begin{eqnarray*} \pi_3(f)=t^4+2+1 \end{eqnarray*}$ .

Kommt man damit weiter ? Bin ich auf dem richtigen Weg? Was kommt dann?

Gruß Jodi

07.10.2008, 11:44

babelon

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Hallo jodi,

ich habe bei mir in der Vorlesung folgenden Satz gefunden und hoffe, dass er bei dem Problem weiter hilft:

Sei R ein faktorieller Ring mit Quotientenkörper K=Quot(R) und sei
$\begin{eqnarray*} f=a_0+a_1+...+a_nt^n \in R[t] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \deg (f) \geq 1 \end{eqnarray*}$ .
Ist $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{A}{B} \in K \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden $\begin{eqnarray*} A,B \in R, B \neq 0 \end{eqnarray*}$ , eine Nullstelle von f, so gilt:
$\begin{eqnarray*} B | a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A | a_0 \end{eqnarray*}$ .

Zur Übersicht:
Die ganzen Zahlen sind ein faktorieller Ring und die rationalen Zahlen genau der zu den ganzen Zahlen gebildete Quotientenkörper,
deine Polynomfunktion ist vom Grad 4.
WENN es also eine Nullstelle in den rationalen Zahlen gäbe, so würde diese nach o.g. Satz nur 1 oder -1 sein können, da nur diese beiden Werte die Zähler und Nenner besitzen, um den ersten und den letzten Koeffizienten zu teilen.

Mein Resumée: Dein Polynom ist irreduzibel im Polynomring über den rationalen Zahlen.

Kann jemand vom Board meine Aussage bestätigen, bitte! (@jodi: ich bin kein Tutor vom matheboard und habe sonst keine Ideen mehr zu deinem Problem)

gruß babelon

07.10.2008, 11:48

therisen

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Zitat:

Original von babelon
WENN es also eine Nullstelle in den rationalen Zahlen gäbe, so würde diese nach o.g. Satz nur 1 oder -1 sein können, da nur diese beiden Werte die Zähler und Nenner besitzen, um den ersten und den letzten Koeffizienten zu teilen.

Mein Resumée: Dein Polynom ist irreduzibel im Polynomring über den rationalen Zahlen.

Dein Resumée ist nicht nachvollziehbar. Du hast nur gezeigt, dass es keine ganzzahlige Nullstelle gibt. Jetzt muss man noch prüfen, ob eine Zerlegung in zwei Polynome vom Grad 2 möglich ist.

07.10.2008, 13:54

jodi

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Erst einmal DANKE für Eure Antworten.

Wenn ich das jetzt richtig eingeordnet habe, dann sind doch alle Brüche schon durch 1 und -1 beschrieben oder?
Eine Zerlegung in Polynome vom Grad 2 ist doch hier gar nicht möglich oder habe ich mich getäuscht. Ich kann das zwar nicht mathematisch beweisen, doch ohne die Terme vom Grad 2 und Grad 3 sollte es doch keine Zerlegung geben.

Doch was bringt mir das jetzt bei der Beantwortung des ursprünglichen Problems?

Gruß
Jodi verwirrt

07.10.2008, 15:49

therisen

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Zitat:

Original von jodi
Doch was bringt mir das jetzt bei der Beantwortung des ursprünglichen Problems?

Schau dir die Definition von "irreduzibel" bzw. "reduzibel" an. Anscheinend hast du keine Ahnung was diese Begriffe bedeuten.

07.10.2008, 16:31

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Hallo,
da es keine rationalen Nullstellen hat => einzig mögliche Zerlegung in zwei Polynome mit je Grad 2.

Dann: Da es primitiv ist gilt: in Q (ir)reduzibel <=> in Z (ir)reduzibel.

Also musst du nur beweisen, dass es keine Zerlegung in je zwei Polynome aus Z[t] gibt, was relativ einfach sein sollte.

Fertig.

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