Stammfunktion gesucht

06.10.2008, 22:17

Frank1987

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Stammfunktion gesucht

Heyho,

meine Freundin und ich brüten gerade über den Hausaufgaben unseres Mathe-Repetitoriums. Dort sollen wir ein unbestimmtes Integral auswerten:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{dx}{\sqrt{5x+1} } ~ \end{eqnarray*}$

Ich bin nun der Meinung, das ganze ist nur die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} ln \sqrt{5x+1} \end{eqnarray*}$ , da ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{5x+1} \end{eqnarray*}$ einfach als feststehenden Teil betrachte.

Meine Freundin grübelt noch.

Hab ich nen Fehler bei meinem Gedankengang drin?

06.10.2008, 22:31

SniperOSOK

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RE: Stammfunktion gesucht
Ist es wenn dann nicht die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{5} \cdot ln \sqrt{5x+1} \end{eqnarray*}$
Weil nach der Ketten regel ist ja :

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = ln(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac {1}{x} \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Äußere Ableitung * innere Ableitung ....

Aber kann auch sein, dass ich vollkommen falsch lieg, da ich sowas noch nie gemacht habe mit einem unbestimmten Integral.... aber rein von der Logik her müsste das so sein.

Außerdem wäre es dann $\begin{eqnarray*} dx* \frac {1}{5} \cdot ln \sqrt{5x+1} \end{eqnarray*}$

gruß

06.10.2008, 22:53

derkoch

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Substituiere mal lieber:

$\begin{eqnarray*} u= 5x+1 \end{eqnarray*}$

bevor das ganze in die komplette falsche Richtung ausartet!

06.10.2008, 22:54

TyrO

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Schreib doch mal den Integranden als Potenz.

06.10.2008, 23:13

Frank1987

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Also, Integrand als Potenz:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\frac{dx}{(5x+1)^\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Nur so wirklich schlauer werd ich dadraus auch nicht. unglücklich

unglücklich

ÄH, moment:

Darf ich einfach sowas machen?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\frac{1}{(5x+1)^\frac{1}{2}} dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(5x+1)^\frac{-1}{2} ~dx \end{eqnarray*}$

Damit könnt ich nämlich was anfangen.

07.10.2008, 08:10

SniperOSOK

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Ja also von meiner Sichtweise wäre das in Ordnung.... ja

Einwände ??

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07.10.2008, 08:20

Airblader

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Klar ist das okay.
Und wenn du eine Integrationsregel für

$\begin{eqnarray*} \int~u(rx+s)~\dd x \end{eqnarray*}$

kennst, dann kannst du die anwenden.

air

07.10.2008, 14:37

SniperOSOK

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Ja das Problem ist dabei eben, dass (soweit mir bekannt) die Ketten regel keine Gültigkeit für die Aufleitung hat.

Also rechne doch lieber nach dem shema, dass die Aufleitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = ln(x) \end{eqnarray*}$ ist... (siehe oben)

Ja und mit der Subs. ist es doch lösbar !!

07.10.2008, 16:56

klarsoweit

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Bitte nicht das Wort "Aufleitung" verwenden. geschockt

geschockt

"Aufführen" ist ja auch nicht das Gegenteil von "Abführen".

Im übrigen ist hier der ln nicht angebracht.

Das Gegenteil der Kettenregel ist bei der Integration eben die Substitutionsregel.

07.10.2008, 21:21

SniperOSOK

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Hm also die kenn ich nicht

Der gegenpol zur Kettenregel der Ableitung ist doch irgendwie auch im Falle einer INTEGRATION die Kettenregel nur mit dem Kehrwert der Inneren Ableitung; oder liege ich da falsch. Aber warum soll man nicht mit ln (x) arbeiten ?

Gruß

08.10.2008, 14:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von SniperOSOK
Der gegenpol zur Kettenregel der Ableitung ist doch irgendwie auch im Falle einer INTEGRATION die Kettenregel nur mit dem Kehrwert der Inneren Ableitung

Im Prinzip ja. Und genau das ergibt sich aus der Substitutionsregel.

Zitat:

Original von SniperOSOK
Aber warum soll man nicht mit ln (x) arbeiten ?

Weil man in diesem Fall damit nicht zum Ziel kommt.
Eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x+1}} \end{eqnarray*}$ könnte ansatzweise $\begin{eqnarray*} F(x) = \sqrt{5x+1} \end{eqnarray*}$ sein. Wenn man mit der Gegenprobe F(x) mal ableitet, dann sieht man, daß sich F'(x) von f(x) lediglich um einen konstanten Faktor unterscheidet. Wenn man also an F(x) einen entsprechenden Korrekturfaktor anbringt, dann ist man am Ziel. Der ln kommt da nicht zum Einsatz.

08.10.2008, 17:24

SniperOSOK

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Ja ne es wäre doch :

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{5} ln( \sqrt{5x + 1} ) \end{eqnarray*}$

08.10.2008, 17:27

AD

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Was sagt denn die Probe durch Ableiten zu dieser deiner vermeintlichen Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} ln( \sqrt{5x + 1} ) \end{eqnarray*}$ ?

Anders scheinst du ja nicht von dieser verrückten Idee abkommen zu können, dass man derart falsch vorgehen kann.

08.10.2008, 19:33

SniperOSOK

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Ah klar ja die innere ableitung ist ja auch nicht $\begin{eqnarray*} \frac {1}{5} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2 \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Somit wäre die Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} F(x) = 2 \cdot \sqrt{5X+1} \cdot ln(\sqrt{5X+1} ) \end{eqnarray*}$

Also die Idee ist ja die Folgenden

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1/x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x) = ln(x) * \frac{1}{x'} \end{eqnarray*}$

Stimmt das denn nicht ???

Ansonsten, wie kann ich es lösen ?

08.10.2008, 19:47

AD

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Ich weiß ehrlich nicht, was du bezwecken willst: Statt neue, fragwürdige Regeln zu erfinden, befolge doch einfach die Substitutionsregel, basta.

Entweder gelangst du durch eine richtig durchgeführte Substitution zu einem einfacheren Integral, welches du dann packst - oder eben nicht. Im zweiten Fall musst du eben was anderes versuchen.

Und zum hiesigen Integral gibt es nun schon genügend Lösungsansätze, z.B. den derkoch und den von klarsoweit. Dann trotzdem so nachzufragen "Ansonsten, wie kann ich es lösen ?" finde ich schon reichlich merkwürdig.

08.10.2008, 19:52

SniperOSOK

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Ja aber genau das ist ja mein Problem: Ich habe von einer Substitutuionsregel noch nie was gehört.....

Also woher soll ich wissen, wie ich das lösen kann....

wenn ich sage $\begin{eqnarray*} u = 5x+1 \end{eqnarray*}$

dann habe ich $\begin{eqnarray*} \frac {1}{\sqrt{u}} \end{eqnarray*}$
und jetzt ??

08.10.2008, 19:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von SniperOSOK
Ich habe von einer Substitutuionsregel noch nie was gehört.....

Dann macht es auch keinen Sinn, diese anwenden zu wollen. Nimm doch einfach meinen Tipp und nimm als Ansatz für die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) = c \cdot \sqrt{5x+1} \end{eqnarray*}$ . c ist dabei eine Konstante, deren Wert noch zu bestimmen ist. Leite das ab und vergleiche das mit dem Integranden. Dann weißt du, was du für c nehmen muß.

08.10.2008, 20:25

SniperOSOK

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Okay.
Abgeleitet ergibt das $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{5}{2c \cdot \sqrt{5X+1}} \end{eqnarray*}$
oder ?

Aber ich habe dafür keine Werter, womit ich c berechnen könnte

08.10.2008, 21:58

Q-fLaDeN

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Die Ableitung ist nicht ganz richtig. Versuch es nochmal.

09.10.2008, 19:32

SniperOSOK

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Sorry aber ich komm nicht drauf was ich falsch mache....

Da die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ ist, komm ich auf dieses Ergebnis; was habe ich den falsch gemacht ? Ich muss doch die innere ableitung noch nehmen..... hm ich komm nicht drauf

Gruß

09.10.2008, 19:34

SniperOSOK

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hm, gehört die innere ableitung vllt auch unter den Bruchstrick ?

also $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2c \cdot \sqrt{5x+1}*5} \end{eqnarray*}$

Stimmts denn so ??

09.10.2008, 19:36

Jacques

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Das stimmt auch nicht.

Leite doch schrittweise ab:

$\begin{eqnarray*} \left[ c \cdot \sqrt{5x+1} \right]^{\prime} = c \cdot \left[\sqrt{5x+1} \right]^{\prime} \end{eqnarray*}$

(nach der Faktorregel)

Und weiter?

09.10.2008, 20:24

SniperOSOK

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In dem fall betrachte ich also

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5x+1} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} (5x+1)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Und dann ist es doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot (5x+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot 5 \end{eqnarray*}$

Jaber das führt mich zum ersten ergebnis was doch falsch war.....

09.10.2008, 20:40

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} f'(x) = c \cdot (\frac{1}{2} \cdot (5x+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot 5) \end{eqnarray*}$

Das stimmt ja jetzt auch, aber man muss noch richtig zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = c \cdot (\frac{1}{2} \cdot (5x+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot 5) = c(\frac{5}{2\sqrt{5x+1}}) = \frac{5c}{2\sqrt{5x+1}} \end{eqnarray*}$

10.10.2008, 00:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
$\begin{eqnarray*} f'(x) = c \cdot (\frac{1}{2} \cdot (5x+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot 5) = c(\frac{5}{2\sqrt{5x+1}}) = \frac{5c}{2\sqrt{5x+1}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt muß man das nur noch mit dem Integranden $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5x+1}} \end{eqnarray*}$ vergleichen und dann hat man das c.

Meine Güte, was für eine schwere Geburt. unglücklich

unglücklich

10.10.2008, 11:27

SniperOSOK

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Ja das heißt c wäre dann 2/5 ? Ich glaube das ausrechnen ist weniger das Problem; Das Problem liegt darin, dass ich nicht weiß, wohin ich muss mit dieser Regel.... Ich hab jetzt c ein geführt und berechnet; toll, was bringt das mir für die Stammfunktion.
Wäre vllt einer mal so nett mir die Substitutionsregel zu erklären ? Und nicht einfach einen schritt nach dem Anderen ohne jegliches Ziel.
Das fände ich einiges hilfreicher.
Also Grundsituation:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x+1}} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich vor um F(x) zu bekommen ?
Und jetzt mal bitte nach der Substitutionsregel und nicht das mit dem Konstanten; denn das habe ich schon verstanden, aber ich habe keine Ahnung wann ich das anwenden darf und wann nicht....
Erklärt mir doch bitte einfach die Substitutions regel....ist das so schwer ? unglücklich

unglücklich

Gruß

10.10.2008, 11:54

Jacques

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@ SniperOSOK:

Über die Substitutionsregel kannst Du Dich doch auch mal selbst informieren!

Sorry, aber ich finde den Tonfall ziemlich daneben. unglücklich

unglücklich

11.10.2008, 16:33

SniperOSOK

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Ich hab ihn nicht gestartet

Ich find eher daneben, dass man sagt, ja mach das und das, aber nicht die Frage klärt, warum; nicht sagt, wo es seinen Anwendungsbereich hat.... ist ja gut, ich hab mich informiert und jetzt ? Jetzt weiß ich auch nicht mehr als vorhin, nur dass man da was ersetzten kann mit einer ableitung / dx
Das bringt mir so was von überhaupt nichts.... Wenn man sich so schön selber informieren kann, warum gibts denn überhaupt lehrer bzw dieses Board ??

11.10.2008, 23:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von SniperOSOK
Ich hab ihn nicht gestartet

Eben. Stattdessen hast du hier in deinem ersten Beitrag nichts zur Frage des Threaderstellers beigetragen, sondern willst jetzt selbst etwas zur Substitutionsregel wissen. Nun gut, hier ist sie:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(g(x)) \cdot g'(x)~dx = \int_{g(a)}^{g(b)}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

Einfach anwenden, fertig. smile

smile

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