Würfel

07.10.2008, 00:47

Bär

Würfel

Hallo miteinander!

Habe eine Frage: Es geht um eine relativ komplexe Aufgabe, die ich auf meine Weise beweisen konnte, mathematisch teilw. aber sehr unkorrekt ist.
Deshalb wollte ich fragen, ob sich jemand Zeit nehmen könnte, sich diese Aufgabe anzusehen?!

Die Grundfrage lautet, ob die Aussage wahr oder falsch ist. (meine Ansicht nach: wahr):

"Gegeben ist ein Würfel der Kantenlänge 1. Aus diesem schneidet man sukzessive Wüfel der Kantenlänge q, q^2, q^3, ...q^N heraus, wobei 0<q<=0.5 gilt. Zeigen Sie induktiv, dass das Volumen, das nach N Schnitten vom Würfel übrig bleibt

Vq(N): = (1 - 2*q^3 + (q^3)^(N+1)) / (1-q^3)

beträgt.

Vielen Dank!

07.10.2008, 00:50

Bär

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Würfel
Zusatz: wenn man die Menge Mq:={Vq(1), Vq(2), Vq(3} betrachtet - hat sie ein Infimum, Supremum, Maxi- oder Minimum :S
und warum?

07.10.2008, 01:05

tigerbine

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RE: Würfel
Formel mit latex:

$\begin{eqnarray*} V_q(N): = \frac{1 - 2*q^3 + (q^3)^{N+1}}{ (1-q^3)} \end{eqnarray*}$

07.10.2008, 01:12

Bär

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RE: Würfel
genau...=)

07.10.2008, 08:51

Jacques

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Hallo,

Wäre schön, wenn Du Deine Ansätze auch aufschreiben würdest. Wie sieht denn Deine Art aus, die Aussage zu beweisen?

Ansonsten:

Ich würde zuerst die ersten Glieder der Folge

$\begin{eqnarray*} V_q(1), V_q(2), V_q(3), \ldots \end{eqnarray*}$

aufschreiben. Dann kannst Du eine Vermutung für

$\begin{eqnarray*} V_q(N) \end{eqnarray*}$

formulieren -- und siehst ja eigentlich sofort, ob diese Vermutung mit der behaupteten Aussage übereinstimmt.

Der Beweis über vollständige Induktion ist dann nur noch Formalität.

Zum Zweiten:

Du meinst sicherlich nicht

$\begin{eqnarray*} \{ V_q(1), V_q(2), V_q(3) \} \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} \{ V_q(1), V_q(2), V_q(3), \ldots \} \end{eqnarray*}$

Oder?

Wie verhält sich die Vq(N)-Folge? Ist sie nach oben/unten beschränkt? Konvergiert sie?

07.10.2008, 17:43

Bär

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Hallo...ja, ich habe das auch so gemacht, nur sehe ich kein "System" dahinter :-S

wenn ich zB für q = 0.5 setze, sieht es wie folgt aus:

Vq (1) = 0.875
Vq (2) = 0.859375
Vq (3) = 0.857422
..
Vq (N) = 0.142857 * ((0.125)^N + 6)

wähle ich aber q = 0.1 gilt:
Vq (N) = 0.001001*((0.001)^N + 998)

hmm ist das richtig? :S ..wie kann ich das beweisen? Indem ich das Volumen des Würfels "von Hand" abzähle, oder wie :S?

Hihi genau, das habe ich gemeint bei den Folgen.
Ich würde sagen, dass sie nach oben beschränkt ist, da das Volumen des Würfels ja irgendwann 0 ist.
Vielen Dank für die Hilfe!

07.10.2008, 17:46

tigerbine

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Frage, die Formel die du oben angegeben hast. Selbst ausgedacht? Oder ist bekannt dass sie stimmt und du sollst "nur" den Beweis liefern?

07.10.2008, 18:27

Bär

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nein, die Formel ist gegeben, man soll induktiv zeigen, dass sie gilt.

07.10.2008, 18:35

tigerbine

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Am Anfang habe ich also V=1³. Nun sei N=1. Dann habe ich einen Würfel der Kantenlänge q entfernt. Bleibt als Volumen übrig: 1³-q³. Stimmt das mit der Formel überein?

$\begin{eqnarray*} V_q(1)= \frac{1 - 2q^3 + (q^3)^{2}}{ (1-q^3)} = \frac{(1 -q^3)^{2}}{ (1-q^3)} = 1-q^3 \end{eqnarray*}$ Freude

Damit ist der Induktionsanfang geschafft. Nun sei das ganze richtig nur N. Es gilt also

$\begin{eqnarray*} V_q(N) = \frac{1 - 2*q^3 + (q^3)^{N+1}}{ (1-q^3)} \end{eqnarray*}$

Nun gilt es zu zeigen, dass auch gilt:

$\begin{eqnarray*} V_q(N+1) = \frac{1 - 2*q^3 + (q^3)^{N+2}}{ (1-q^3)} \end{eqnarray*}$

Und das muss folgen aus der Berechnungsidee:

$\begin{eqnarray*} V_q(N+1) = V_q(N) - (q^{N+1})^3 \end{eqnarray*}$

07.10.2008, 19:05

Bär

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wäre es unten nicht:
Vq(N+1) = Vq(N) - q^3^(N+1)

Für das Supremum, Infimum etc der Folge:
Ist 1 das Maximum, 0 das Minimum?
Was ist das Infimum, Supremum? =S

07.10.2008, 19:06

tigerbine

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Jo, das war ja nur die Seitenlänge. Hammer

Nun mach erstmal die Induktion

07.10.2008, 20:00

Bär

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also ich dachte an: Vq(N+1) = Vq(N) - q^3^(N+1)
und nicht an Vq(N+1) = Vq(N) - q^(N+1)^3

also..ich habe eine induktion, kann aber eben nicht beweisen, dass die Behauptung stimmt.

Ich habe nun: Vq(N+1) = ((1-2q^3 + (q^3)^(N+2)) / (1-q^3) =
-[(q^3)^n * q^6 - 2*q^3 + 1] / (q^3 -1)

07.10.2008, 20:14

tigerbine

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Potenzgesetz sagt, dass ixt identisch

07.10.2008, 20:21

Bär

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YES! =)
..und wie siehts bei der Folge aus mit Minimum, Maximum, Supremum und Infimum?
Maxi = 1
Mini = 0
Infi = 0
Supremum = 1

???

07.10.2008, 20:39

tigerbine

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Wo ist denn nun deine Indukion? du hast den SChritt ja gar nicht gemacht. unglücklich

Und bitte mit latex.

07.10.2008, 20:58

Bär

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mein Schritt (ist der nicht gut?) sieht wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} Vq(N+1) &&= ((1-2q^3 + (q^3)^(N+2)) / (1-q^3)\\&&=-[(q^3)^n * q^6 - 2*q^3 + 1] / (q^3 -1) \\&&= ((1-2*q^3 + (q^3)^(N+1)) / (1-q^3)) - (q^3)^(N+1) \end{eqnarray*}$

07.10.2008, 20:59

tigerbine

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Zeilenumbruche mit \\, so kann man das nicht lesen. unglücklich

Vorher vielleicht mal

[User-Tutorial] LaTeX für Anfänger

07.10.2008, 20:59

Bär

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mein Schritt (ist der nicht gut?) sieht wie folgt aus:
Vq(N+1) = ((1-2q^3 + (q^3)^(N+2)) / (1-q^3) =
-[(q^3)^n * q^6 - 2*q^3 + 1] / (q^3 -1)
= ((1-2*q^3 + (q^3)^(N+1)) / (1-q^3)) - (q^3)^(N+1)

sorry...so wärs richtig...=)

07.10.2008, 21:10

tigerbine

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Im HS Bereicht ist "Ordnung" doch nun nicht zu viel verlangt. Das liest sich doch ... und du möchtest doch, dass es jemand liest.

$\begin{eqnarray*} V_q(N+1) &&= V_q(N) - (q^{N+1})^3 \\ \\&& = \frac{1 - 2\cdot q^3 + (q^3)^{N+1}}{ (1-q^3)} - (q^3)^{N+1} \\ \\&& = \frac{1 - 2\cdot q^3 + (q^3)^{N+1}}{ (1-q^3)} - \frac{(1-q^3)(q^3)^{N+1}}{(1-q^3)} \\ \\&& = \frac{1 - 2\cdot q^3 + (q^3)^{N+1}}{ (1-q^3)} + \frac{-(q^3)^{N+1}+(q^3)^{N+2}}{(1-q^3)} \\ \\ &&= \frac{1 - 2\cdot q^3 + (q^3)^{N+2}}{ (1-q^3)} \end{eqnarray*}$

07.10.2008, 21:21

Bär

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Wow...super!
hehe sieht wirklich besser aus! =)

Vielen Dank!

Stimmt das mit den Folgen?

07.10.2008, 21:23

tigerbine

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Kleiner Finger und weg ist die Hand.... Moment, das muss ich mir hier erst wieder suchen...

07.10.2008, 21:29

tigerbine

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RE: Würfel

Zitat:

Original von Bär
Zusatz: wenn man die Menge $\begin{eqnarray*} M_q:=\{ V_q(1), V_q(2), V_q(3), ... \} \end{eqnarray*}$ betrachtet - hat sie ein Infimum, Supremum, Maxi- oder Minimum :S
und warum?

Jacques hatte dich da was gefragt. Augenzwinkern

Wir wissen nun ja, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} V_q(N) = \frac{1 - 2\cdot q^3 + (q^3)^{N+1}}{ (1-q^3)} \end{eqnarray*}$

Und auch wie es entsteht. Daher liegt eine streng monoton fallende Folge vor, auch wenn abzuziehende Volumen immer kleiner wird (0< q < 1). Somit gibt ein größtes Element in der Menge. Was bedeutet dies für die Frage?

Wir nehmen nun immer etwas weg. Bekommen wir mittels dieser Methode aber den Ursprungsquader "weg"? Oder bleibt etwas übrig, egal wie viel man wegnimmt?

07.10.2008, 21:33

Bär

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RE: Würfel
also , dh Maximum = supremum = 1
minimum gibt es keines, da immer etwas übrig bleibt...
gibt es aber ein infimum?

07.10.2008, 21:42

tigerbine

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RE: Würfel

Zitat:

minimum gibt es keines, da immer etwas übrig bleibt...

Das ist doch Unsinn. Minimum heißt, dass die kleinste untere SChranke (Infimum) angenommen wird. Gegenbeispiel wäre die Folge 1/n, die hat das Infimum 0, aber kein Minimum.

Das ich es salopp formuliert habe entbindet dich den Beweis zu liefern. In welchem Theoriebereich müssen wir nach Sätzen suchen?

07.10.2008, 21:57

Bär

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RE: Würfel
also eben: ich würde sagen, da es immer 1-q^n ist , läuft das Ganze schon gegen 0...daher würde ich behaupten, dass 1 = minimum = infimum ist...

07.10.2008, 22:03

tigerbine

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RE: Würfel
behaupten kannst du viel, beweisen sollst/musst du es.

07.10.2008, 22:09

Bär

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RE: Würfel
..das ist eben genau mein Problem, wie ich das beweisen kann...

07.10.2008, 22:09

tigerbine

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RE: Würfel

Zitat:

Original von tigerbine
In welchem Theoriebereich müssen wir nach Sätzen suchen?

07.10.2008, 22:23

Bär

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RE: Würfel
aha...Ableitungen ?!

...dh -1 = minimum = infimum?

07.10.2008, 22:27

tigerbine

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RE: Würfel
unglücklich

Wie wäre es mit Folgen und Reihen?

07.10.2008, 22:32

Bär

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RE: Würfel
aha..
also
1-q = Vq(1) ...
dh: Vq(1)-Vq(2)-......?

07.10.2008, 22:35

tigerbine

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RE: Würfel
Ich hab wenig Lust mir die ... selbst zu denken. Mittels der Induktion sollte klar sein, wie die Reihe, oder eine Partialsumme auszusehen hat. Dann kann man die sich wenn man mag etwas "unformen". Ferner gilt es die notwendige Konvergenzbedingung 8wie lautet die?) zu prüfen.

Du kannst das gern auch erstmal auf Zettel und Papier machen und dann hier "sauber" einstellen. Wir haben da keine Eile...

08.10.2008, 00:15

Bär

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RE: Würfel
also...ich habe nun (sehr!) lange probiert, und herausgefunden, dass das Max = Supremum = 1-q^3 beträgt.

Minimum bzw. ifimum konnte ich keines ermitteln...ich habe leider auch noch keinen richtigen Beweis aufstellen können und bitte hiermit um hilfe..

08.10.2008, 00:24

tigerbine

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Ich empfehle eine Kettensäge. Denn Bäume scheinst du genug zu sehen, aber wo ist nur der Wald. Das Maximum hatte ich dir schon längst gesagt und auch wie man es beweißt. Ferner steht dies im Inudktionanfang

Zitat:

Original von tigerbine
Am Anfang habe ich also V=1³. Nun sei N=1. Dann habe ich einen Würfel der Kantenlänge q entfernt. Bleibt als Volumen übrig: 1³-q³. Stimmt das mit der Formel überein?

$\begin{eqnarray*} V_q(1)= \frac{1 - 2q^3 + (q^3)^{2}}{ (1-q^3)} = \frac{(1 -q^3)^{2}}{ (1-q^3)} = 1-q^3 \end{eqnarray*}$ Freude

Damit ist der Induktionsanfang geschafft.

Die Antwort auf den Weg zur Inf/Min untersuchung steckt im Induktionsschritt.

Zitat:

Und das muss folgen aus der Berechnungsidee:

$\begin{eqnarray*} V_q(N+1) = V_q(N) - (q^{N+1})^3 \end{eqnarray*}$

Nun musst du dieses abziehen mal bis zum Anfang zurück aufschreiben. Was hast du also bei N+1 schon alles von dem 1³ Quader abgezogen? Das gibt einen Term mit lauter "-" . Klammer um jeden Term rum, dann kann man ein "+" schreiben. Das ist dann also die schon angesprochene Partialsumme. Die Reihe zu formulieren, ist dann auch nicht mehr schwer.

Die Stichpunkte nannte ich bereits. Auch bist du mir die Anwort auf die notwendige Konvergenzbedingung für Reihen schuldig.

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