definite Matrix

11.07.2006, 11:05	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
definite Matrix Hi... ich hab eine darstellende Matrix von einer Bilinearform und ich möchte zeigen, dass sie ein Skalarprodukt darstellt. die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 2 \\ \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \\ 2 & \frac{3}{2} & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erstmal kann man doch sagen, dass die Bilinearität aus der Bilinearität der Matrixmultiplikation folgt, oder? - Wenn ich eine Matrix als Bilinearform auffasse, dann ist sie doch immer bilinear - richtig? dann symmetrisch ist die Matrix - somit auch die Bilinearform... jetzt das Problem - definitheit: ich bilde also <x,x> und setze das 0. Bei einer definiten Bilinearform dürfte die einzige Lösung x=0 sein. Das hab ich jetzt mal gemacht: sei $\begin{eqnarray} x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann bekomme ich die Gleichung: $\begin{eqnarray} x_1^2 + x_1x_2 + 4x_1x_3 + 3x_2x_3 + \frac{1}{2}x_2^2 + 8 x_3^2 = 0 \end{eqnarray}$ wie soll ich da jetzt zeigen, dass notwendigerweise x1,x2 und x3 Null sein müssen? oder gibt es noch einen anderen Weg definitheit zu zeigen? - weil in der Klausur ist Zeit ja sowieso immer knapp und daher der kürzeste Weg mein Favorit... Sunwater
11.07.2006, 11:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausreichend für die positive Definitheit wäre der Nachweis, dass alle drei Eigenwerte der Matrix positiv sind. Dazu musst du die EW nicht unbedingt direkt ausrechnen, das kann ja bei einer kubischen Gleichung manchmal sehr eklig sein.
11.07.2006, 11:31	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
daran hab ich auch schon gedacht: das char. Polynom ist: $\begin{eqnarray} - \lambda ^3 + \frac{19}{2} \lambda ^2 - 6 \lambda + \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ wie soll ich dieser Gleichung ansehen, dass alle Nullstellen größer als Null sind?
11.07.2006, 11:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Z.B. so: Matrix symmetrisch positiv definit
11.07.2006, 12:02	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist ne sehr geile Sache - es ist sicher viel schneller den kurzen Beweis in der Klausur mal aufzuschreiben, als mit numerischen Verfahren die NS auszurechnen... - danke!!!
11.07.2006, 12:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Aussage hat auch irgendeinen Namen, der mir aber leider entfallen ist. EDIT: Ich hab nochmal recherchiert, es ist ein Spezialfall der Vorzeichenregel von Descartes.
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