Grenzwert einer Reihe

11.07.2006, 20:03

Mnevis

Grenzwert einer Reihe

Hi,

mal wieder hab ich n kleines Prob. Will den Grenzwert einer solchen Reihe(ist es eigentlich eine Reihe o. ist es ne Folge) berechnen und stoße dabei auf das Problem, das ich kein Plan habe wie ich dadran gehen soll.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir den einen oder anderen tip geben wie ich an sowas drangehen kann. Wäre super!!!!

Schon mal vielen Dank!!!

Gruß

mnevis

11.07.2006, 20:08

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Die Zerlegung $\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)+(n+2)}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ sticht direkt ins Auge...

11.07.2006, 20:39

Pr0

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RE: Grenzwert einer Reihe
Mit dem Term $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ und der Nullfolge hast du doch schon recht viele Informationen. Mit Arthur's Hinweis sollte es spätestens dann möglich sein, den Wert der unendlichen Reihe zu ermitteln. Unter Umständen ist sogar eine Indexverschiebung sinnvoll.

11.07.2006, 21:16

Pr0

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RE: Grenzwert einer Reihe
Besser: schreib einfach mal die ersten Gleider auf. Evtl fällt dir der Teleskopeffekt auf...

12.07.2006, 13:36

mnevis

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die folge würde gegen null konvergieren aber was bringt mir das für die reihe?

kann ich das etwa so rechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ (-1)^{n} \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^\infty ~ (-1)^{n} \frac{2+\frac{3}{n}}{n+3+\frac{2}{n}} = \sum_{n=1}^\infty ~ (-1)^{n} \frac{2}{n+3} \end{eqnarray*}$

mit 3/n ---> 0; 2/n---> 0 ; und dann auch 2/(n+3)---> 0

habe mir die ersten paar Glieder auch von angeguck, die reihe müsste bei n --> $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ auch gegen null laufen, aber wäre das was ich oben aufgeschrieben habe eine Sinnvolle rechnung für?

Desweiteren wollte ich noch fragen wie das mit der Indexverschiebung anzustellen sei? läuft doch gegen unendlich, da kann ich doch nicht verschieben, oder doch?

Fragen über Fragen, auf die ich keine Antwort kenne Hammer

12.07.2006, 13:48

sqrt(2)

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Du brauchst keine Indexverschiebung, und was du da für Elemente ausgerechnet hast, dass du meinst, die Reihe müsse den Grenzwert 0 haben, weiß ich auch nicht. Mit Arthurs Trick:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{(n+1)+(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-... \end{eqnarray*}$

Was den "Teleskopeffekt" angeht:

Zitat:

Original aus der Wikipedia

Eine Teleskopreihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty(a_i-a_{i+1}) \end{eqnarray*}$
ist genau dann konvergent, wenn $\begin{eqnarray*} (a_k) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist. Der Grenzwert ist dann gleich $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ .

Mit Arthurs Umformung ist es recht einfach, hier die Folge $\begin{eqnarray*} (a_k) \end{eqnarray*}$ anzugeben.

12.07.2006, 15:15

therisen

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Zitat:

Original von mnevis
kann ich das etwa so rechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ (-1)^{n} \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^\infty ~ (-1)^{n} \frac{2+\frac{3}{n}}{n+3+\frac{2}{n}} = \sum_{n=1}^\infty ~ (-1)^{n} \frac{2}{n+3} \end{eqnarray*}$

mit 3/n ---> 0; 2/n---> 0 ; und dann auch 2/(n+3)---> 0

habe mir die ersten paar Glieder auch von angeguck, die reihe müsste bei n --> $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ auch gegen null laufen, aber wäre das was ich oben aufgeschrieben habe eine Sinnvolle rechnung für?

Das ist grob falsch.

12.07.2006, 16:50

Mnevis

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So jetzt habe ich es!!!!

Habe einmal mit der Partialbruchzerlegung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ (-1)^{n} (\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}) \end{eqnarray*}$

rausbekommen, was ich auch mit Arthurs ansatz bekommen hätte können.

Danach die $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ aufgelöst durch

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ -\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n+1} -\frac{1}{2n+1} +\frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Was zwei Teleskopsummen ergibt, wenn man -1 ausklammert:

$\begin{eqnarray*} -\sum_{k=1}^\infty ~ (\frac{1}{2n} -\frac{1}{2n+1}) -\sum_{k=1}^\infty ~ (\frac{1}{2n+1} -\frac{1}{2n+2})=-(\frac{1}{2} -\frac{1}{2n+1}) -(\frac{1}{3} -\frac{1}{2n+2}) \end{eqnarray*}$

Den Grenzwert durch
$\begin{eqnarray*} -\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{2} -\frac{1}{2n+1}) -\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{3} -\frac{1}{2n+2}) \end{eqnarray*}$
ausgerechnet.

und als Ergebnis habe ich dann $\begin{eqnarray*} -\frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ bekommen.

So habe ich das doch rechnen können acuh ohne zu wissen, ob nun die ausgangsformel eine Nullfolge ist oder nicht?

bzw. Hätte ich mir das jetzt alles Sparen können und einfach sagen können das a1 der grenzwert ist, da das Ganze eine nullfolge ist????

Wäre noch für den letzten tip dankbar!

Ansonsten Vielen Dank für eure Hilfe!!!

12.07.2006, 17:00

Mathewolf

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Das ist wieder grob falsch. Schau dir mal den Summationsindex an ...

12.07.2006, 17:06

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@Mnevis

Du kannst dir das ganze wesentlich erleichtern, wenn du das Vorzeichen gemäß $\begin{eqnarray*} (-1)^n=-(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ in die Suche nach einer Teleskopsumme einbeziehst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(n+1)+(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{(-1)^n}{n+1} - \frac{(-1)^{n+1}}{n+2} \right) \end{eqnarray*}$

13.07.2006, 14:36

Mnevis

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Warum ist den meine Rechnung falsch?

alleine nach der Aussage müsste die ja schon richtiges ergebnis haben:

Zitat:

Mit Arthurs Umformung ist es recht einfach, hier die Folge $\begin{eqnarray*} (a_k) \end{eqnarray*}$ anzugeben.

und wo ist der Unterschied ob ich die eine Teleskopsumme berechne oder beide?

13.07.2006, 15:00

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Ok, wenn du's genau wissen willst:

Zitat:

Original von Mnevis (mit fehlerbereinigten Indizes)
Danach die $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ aufgelöst durch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ -\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n+1} -\frac{1}{2n+1} +\frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Was zwei Teleskopsummen ergibt, wenn man -1 ausklammert:

$\begin{eqnarray*} -\sum_{n=1}^\infty ~ (\frac{1}{2n} -\frac{1}{2n+1}) -\sum_{n=1}^\infty ~ (\frac{1}{2n+1} -\frac{1}{2n+2})=-(\frac{1}{2} -\frac{1}{2n+1}) -(\frac{1}{3} -\frac{1}{2n+2}) \end{eqnarray*}$

Hier liegt bereits der Fehler: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ (\frac{1}{2n} -\frac{1}{2n+1}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ (\frac{1}{2n+1} -\frac{1}{2n+2}) \end{eqnarray*}$

sind keine Teleskopsummen, schau sie dir mal genau an!!! Wenn du dagegen gleich

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ -\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n+1} -\frac{1}{2n+1} +\frac{1}{2n+2} = \sum_{n=1}^\infty ~ \left( -\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n+2} \right) \end{eqnarray*}$

umgeformt hättest, wäre tatsächlich eine Teleskopsumme herausgekommen. Natürlich muss noch begründet werden, warum du je zwei aufeinanderfolgende Glieder hier einfach zusammenfassen darfst - das geht nämlich nicht immer, Beispiel

$\begin{eqnarray*} 1-1+1-1+1-1+\cdots &=& (1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots \stackrel{?}{=} 0\\ 1-1+1-1+1-1+\cdots &=& 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots \stackrel{?}{=} 1 \end{eqnarray*}$ Big Laugh

13.07.2006, 19:56

Mnevis

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Ok, jetzt habe ich es verstanden! Die dinger hatten zuviel ähnlichkeit mit einer teleskopsumme, und deswegen habe ich auch den Fehler gemacht. Habe jetzt aber die einzelnen summanten aufgeschrieben, wobei dann -(1/2 + 1/4 + 1/6 +1/8+ ... 2n - 1/3 - 1/5 - 1/7 - 2n+1) rauskamm was ja dann Falsch ist. Ich habe wohl einfach den faktor 2 in den Brüchen nicht berücksichtigt....

Ich Danke euch allen für die Unterstüzung!!!!

Gruß

Mnevis

p.s. das mit dem Summationsindex habe ich nur hier Falsch gehabt, mich wohl bei den Formeln verschrieben....

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