Gruppenordnungen

11.07.2006, 21:04

PsychoCat

Gruppenordnungen

Hallo zusammen Wink

sorry wenn ich in irgendwelchen threads vorläufig nicht mehr geantwortet habe, aber ich habs die letzten Tage nochmal auf eigene Faust versucht, weil man sinnvolle Fragen glaub ich nur stellen kann, wenn man sich vorher ausgiebig alleine mit dem Thema beschäftigt hat Lehrer

Jetzt habe ich allerdings noch eine Frage:
Wenn G eine Gruppe von Ordnung a*b ist und A Untergruppe von Ordnung a, B Untergruppe von Ordnung b und $\begin{eqnarray*} A \cap B = {1} \end{eqnarray*}$ , folgt dann, dass G=A*B ist? Also dass man jedes Element g in G schreiben kann als x*y mit x in A, y in B? Wenn ja warum?

Hintergrund der Frage ist folgender:
Sei G von Ordnung n=p²q² mit p<q. Dann soll ich zeigen, dass G isomorph zu einem semidirekten Produkt von Sylow-Untergruppen ist. Ich habe schon gezeigt, dass für n ungleich 36 es eine normale Sylow-q-Untergruppe Q gibt und $\begin{eqnarray*} Q \cap P = {1} \end{eqnarray*}$ für eine Sylow-p-Untergruppe P. Was jetzt noch fehlt ist soweit ich weiß eben dass G=PQ ist.

11.07.2006, 22:37

Abakus

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RE: Gruppenordnungen
Seien $\begin{eqnarray*} a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2 \end{eqnarray*}$ , wobei jeweils der erste Faktor aus A und der zweite aus B ist. Zeige nun: $\begin{eqnarray*} a_1 = a_2,~ b_1 = b_2 \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du schließen, dass $\begin{eqnarray*} A \cdot B \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} (a \cdot b) \end{eqnarray*}$ - viele Elemente hat.

Grüße Abakus smile

11.07.2006, 23:31

PsychoCat

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ok also ich soll zeigen, dass wenn diese Schreibweise existiert, dass sie dann eindeutig ist. Das folgt daraus, dass der Schnitt 1 ist oder?
Etwas expliziter würd ichs so machen:
Wenn $\begin{eqnarray*} a_1b_1=a_2b_2 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} a_2^{-1}a_1=b_2b_1^{-1} \in A \cap B = 1 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} a_2^{-1} \end{eqnarray*}$ das Inverse zu $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ bzw analog bei den bs und die Behauptung folgt dann ja.

Hmm und daraus folgt dann, dass jedes Element aus A multipliziert mit einem Element aus B ein anderes ergibt, also kann ich a*b verschiedene Elemente bilden, also ist die Ordnung von AB a*b und damit gleich der Ordnung der gesamten Gruppe, woraus folgt, dass AB=G ist. smile

richtig?

11.07.2006, 23:58

JochenX

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ich bin mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} A \cap B=1 \end{eqnarray*}$ nicht ganz glücklich, schreibt ihr keine Mengenklammern um die 1?
Ich kenne diese "pampige" Schreibweise sonst nur bei Moduln/Vektorräumen, wo 0 den Nullraum {0} meint.
Egal. Der Beweis ist richtig so.

AB ist eine Untergruppe der Ordnung der ganzen Gruppenordnung. So viele gibts da halt nicht. smile

Gruß, Jochen

PS: nu wieder ab ins Bett, bin eh nur aufgestanden, um ein englisches Wort nachzuschauen smile

12.07.2006, 10:12

Ben Sisko

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Zitat:

Original von LOED
Ich kenne diese "pampige" Schreibweise sonst nur bei Moduln/Vektorräumen, wo 0 den Nullraum {0} meint.

Die hängt eher vom Schreiber ab als vom Themengebiet Augenzwinkern

12.07.2006, 10:22

PsychoCat

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Die hängt eher vom Schreiber ab als vom Themengebiet Augenzwinkern

richtig

war nur zu faul dazu bzw hab sogar eckige Klammern gemacht, aber die muss man in diesen Formelbereichen ja anders machen smile

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