ebene und geradenschar - schnittpunkt

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07.10.2008, 19:31

The Rob

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ebene und geradenschar - schnittpunkt

hallo!

ich schreibe morgen meine lk-klausur, da habe ich eine tolle aufgabe von jama gefunden:

Zitat:

Original von jama
1. Gegeben:

Ebene e: $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die
Geradenschar $\begin{eqnarray*} g:a:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} +k\begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

1.3. Berechnen Sie für jede Gerade der Schar die Koordinaten des Schnittpunktes in Abhängigkeit von a.

ich habe dann nach dem gleichsetzen (ebene und gerade) folgendes lgs herausbekommen (in matrizenschreibweise):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -a \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

als lösungen habe ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} k=\frac{-7}{6+a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\frac{5-2a}{6+a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=\frac{7}{6+a} \end{eqnarray*}$

und was muss ich nun machen, um die koordinaten des punktes zu erhalten?
einfach in die obere gleichung einsetzen?
oder nur r und s in die ebenengleichung einsetzen?
oder reicht es sogar aus, wenn ich nur k in die geradengleichung einsetze?
verwirrt

07.10.2008, 19:56

The Rob

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RE: ebene und geradenschar - schnittpunkt
ich habe einfach mal k in die geraden funktion eingesetzt, und folgende "punkteschar" herausbekommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ \frac{24-3a}{6+a} \\ \frac{2+5a}{6+a} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

07.10.2008, 20:00

mYthos

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Erst mal Fallunterscheidung! Der Nenner könnte ja auch Null werden.

Schnittpunkt: Entweder r, s in die Ebenengleichung oder k in die Geradengleichung einsetzen. In beiden Fällen kommst du zum gleichen Schnittpunkt (wenn du richtig gerechnet hast Big Laugh

).

mY+

07.10.2008, 20:05

The Rob

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stimmt, die fallunterscheidung. ich vergesse immer etwas geschockt

danke für den tipp!
Freude

e: also zur fallutnerscheidung vollständigkeitshalber:

$\begin{eqnarray*} a \neq -6 \end{eqnarray*}$

07.10.2008, 20:25

mYthos

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Sagen wir mal so:
Im Falle a ungleich -6 gibt es immer einen Schnittpunkt, bei a = -6 keinen. Welche Lage hat dann die Gerade bezüglich der Ebene?

mY+

07.10.2008, 20:39

The Rob

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RE: ebene und geradenschar - schnittpunkt
und schon wieder wäre ein paar puntke baden gegangen...
danke für die erinnerung!

also
dann wollen wir mal schauen, was bei den drei vektoren herauskommt.

$\begin{eqnarray*} a=-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = \frac { \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 6 & 2 & 4 \\ -4 & -1 & -3 \end{vmatrix}} = \frac{-12-8-3-4-9+8}{16-6+8-18} = \frac{-7}{0} \end{eqnarray*}$

aus $\begin{eqnarray*} \frac{-7}{0} \end{eqnarray*}$ kann man folgern, dass g und E parallel sind, g jedoch NICHT element von E ist.

reicht das auch an argumentation, oder muss ich da noch irgendwo mehr argumentieren? was ich da mache und so?

07.10.2008, 20:52

mYthos

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RE: ebene und geradenschar - schnittpunkt

Zitat:

Original von The Rob
...
aus $\begin{eqnarray*} \frac{-7}{0} \end{eqnarray*}$ kann man folgern, dass g und E parallel sind, g jedoch NICHT element von E ist.

reicht das auch an argumentation, oder muss ich da noch irgendwo mehr argumentieren? was ich da mache und so?

Das ist richtig. Du kannst alternativ mit a = -6 den Richtungsvektor der Geraden bestimmen und zeigen, dass dieser mit den beiden Richtungsvektoren der Ebene komplanar (linear abhängig) ist. Trage dazu die Komponenten aller drei Vektoren in eine 3 x 3 Determinante ein - diese wird dann den Wert Null ausweisen.

mY+

07.10.2008, 20:55

The Rob

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RE: ebene und geradenschar - schnittpunkt

Zitat:

Original von mYthos
Trage dazu die Komponenten aller drei Vektoren in eine 3 x 3 Determinante ein - diese wird dann den Wert Null ausweisen.

mY+

das ist ja meine nenner determinante, meine zähler determinante sagt dann aus, dass sie g nicht teilmenge von E ist.
DANKE für deine hilfe mythos!
Freude

07.10.2008, 21:08

mYthos

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RE: ebene und geradenschar - schnittpunkt

Zitat:

Original von The Rob
...
das ist ja meine nenner determinante, meine zähler determinante sagt dann aus, dass sie g nicht teilmenge von E ist.
...

Natürlich, stimmt ja! Forum Kloppe

Dann ist ja alles klar.

mY+

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