Schnittfläche von Ebene mit Zylinder

12.07.2006, 12:21

Enthalpus-Laplacus

Schnittfläche von Ebene mit Zylinder

Hi Zusammen,

hab ein kleines Problem bei dem ich nicht Weiterkomme.

Gegeben sind: Zylinder $\begin{eqnarray*} Z=\{(x,y,z): x^2+y^2\leq4\} \end{eqnarray*}$

und Ebene E: x+y+z=1

Gesucht ist der Flächeninhalt der Schnittfläche des Zylinders mit der Ebene.

Zur Lösung hab ich mir folgendes Überlegt:

Projektion der Ebenenfläche auf die Fläche des Zylinders in x,y-Ebene. Die Ebene kann ich als eine Niveaufläche annehmen, daraus folgt der Normalenvektor der Ebene:

$\begin{eqnarray*} \vec{N}=\frac{grad (x+y+z)}{|grad(x+y+z)|} \end{eqnarray*}$

Die Projektion eines Flächenelements dA der Ebene auf x,y-Ebene (=dA'):

$\begin{eqnarray*} dA'=d\vec{A}\vec{e_z}=dA(\vec{N}\vec{e_z}) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} dA=rdrd\varphi \end{eqnarray*}$

Anschließen die Fläche über $\begin{eqnarray*} \int\int dA' \end{eqnarray*}$ berechnen

wobei über den Kreis $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=4 \end{eqnarray*}$ integirert wird.

So meine Frage ist das einiger Maßen Richtig so oder totaler Schwachsinn??

Gibts eine 08/15 Schema zur Berechnung der Schnittfläche zwischen Körpern und ebenen?

Danke schon mal im voraus!

12.07.2006, 21:18

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittfläche von Ebene mit Zylinder
Richtig nachvollziehen kann ich es nicht, was du meinst. Stelle am Besten einmal deinen Rechengang vor.

Grüße Abakus smile

12.07.2006, 21:59

Enthalpus-Laplacus

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Abakus,

danke für die Antwort.
Hab noch den 3D-Graph als Bild Angehängt. Gesucht ist die Fläche der Ebene die vom Zylinder umschlossen wird.

Mein Post von vorhin ist eigentlich schon die Rechnung. Bis auf die Integrationsgrenzen ist sie komplett. Aber die ergeben sich aus der Kreisgleichung.

Die Idee ist die, dass ich die Fläche der Ebene die als Produkt von Normalenvektor der Ebene und dem Betrag der Fläche geschrieben werden kann auf die x,y-Ebene Projeziere. Dabei Projeziere ich nich auf einen beliebigen Bereich der x,y-Ebene sondern auf die Fläche die durch den Schnitt des Zylinders mit der x,y-Ebene entsteht (also x^2+y^2=4).
Dabei wird ein Kreisförmiges Infinitesimales Element der Ebene projeziert.

Ich hab das in Anlehnung an die Berechnung des Flusses eines Vektorfeldes durch eine Ebene mir "zurechtgestrickt". Da wird das auch so gemacht.
Aber ich habe keine Ahnung ob das richtig ist. Hab auch eher das Gefühl mittlerweile das es eher ein Schuss in den Ofen ist.

Ansonsten wüsste ich nicht wie ich an die Fläche komme.

Wie würdest Du dabei vorgehen?
Gibts ein Kochrezept zur Berechnung der Schnittflächen zwischen Körper und Ebene?

12.07.2006, 22:46

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Standard ist hier die Benutzung eines Oberflächenintegrals. Den Integrationsbereich kannst du mittels Polarkoordinaten ausdrücken (ein Kreis mit Radius 2), den Normaleneinheitsvektor der Ebene kannst du ablesen.

Deine Idee mit der Projektion ist vermutlich sehr ähnlich dazu.

Ein Kochrezept gibt es wohl nicht. Ein entscheidender Schritt iin der Berechnung ist jedoch, wenn es gelingt, die Fläche erstmal als Parameterdarstellung hinzuschreiben.

Grüße Abakus smile

12.07.2006, 23:03

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine spezielle, ganz auf die vorliegende geometrische Situation zugeschnittene Methode, die allerdings nicht universell auf andere derartige Probleme anwendbar ist:

Die Schnittfläche ist ja eine Ellipse - versuch also, deren beide Halbachsen zu bestimmen, dann kriegst du auch leicht den Flächeninhalt raus.

12.07.2006, 23:21

Enthalpus-Laplacus

Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt:

$\begin{eqnarray*} \int _F \int |\vec{x_u}\times\vec{x_v}|dudv \end{eqnarray*}$

Parameterdarstellung der Ebene als Vektor:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=(u, v, z=f(u,v)) \end{eqnarray*}$

mit z = f(u,v) = 1 - u - v

und für F gilt:

$\begin{eqnarray*} -2\leq u \leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{4-u^2}\leq v \leq \sqrt{4-u^2} \end{eqnarray*}$

so müsste es gehen, hoffe ich zumindest?!

12.07.2006, 23:28

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist der Ansatz, den ich meine. Polarkoordinaten bieten sich hier an. Mit Arthurs Idee lässt sich dann gut eine Probe machen Augenzwinkern

.

Grüße Abakus smile

12.07.2006, 23:31

Enthalpus-Laplacus

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfestellung.

Grüße

Enthalpus-Laplacus

12.07.2006, 23:35

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Die Schnittfläche ist ja eine Ellipse - versuch also, deren beide Halbachsen zu bestimmen, dann kriegst du auch leicht den Flächeninhalt raus.

Für den Flächeninhalt einer Ellipse gibt es ja eine Formel, $\begin{eqnarray*} F = ab \cdot \pi \end{eqnarray*}$ (Das ist hier also mit der Probe gemeint).

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

14.07.2006, 13:05

Spektrum

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dieser übersichtlichen Aufgabe ist eine geometrische Lösung einfacher.

Die Schnittfläche ist eine Ellipse. Der kleine Halbmesser b ist 2.

Die großen Halbmesser a liegen in der Ebene x=y und gehen von (0/0/1) bis x=y=Wurzel(2) und z=1+-Wurzel(8).

Damit hat a eine Länge von Wurzel(12).

Gruß
Spektrum*

14.07.2006, 13:44

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit kommst du auf folgende Fläche: $\begin{eqnarray*} F = ab \cdot \pi = \sqrt{12} \cdot 2 \cdot \pi = 4\sqrt{3}\cdot\pi \end{eqnarray*}$ Freude

.

Das Ergebnis kommt über das Integral ebenfalls raus (die Halbachsen habe ich nicht nachgerechnet).

Grüße Abakus smile

Neue Frage »

Antworten »

Schnittfläche von Ebene mit Zylinder

Verwandte Themen