Abbildungen u. Mengen

08.10.2008, 12:08

eierkopf1

Abbildungen u. Mengen

Hallo!

Ich weiß, dass dieses Thema schon öfter vorgekommen ist. Aber ich möchte wissen, ob meine Lösung stimmt.

"Es sei f eine Abbildung der Menge M in die Menge N und $\begin{eqnarray*} A, B \subseteq M \end{eqnarray*}$ . Man beweise:

$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) = f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ "

Meine Lösung:
Ich muss beide Richtungen beweisen $\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \supseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ :

Zum Ersten:
$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} y \in f(A \cup B) \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt, dass es ein $\begin{eqnarray*} x \in (A \cup B) \end{eqnarray*}$ gibt, für das gilt $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} x \in A \land f(x) \in f(A) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in B \land f(x) \in f(B) \end{eqnarray*}$ .
Daraus müsste auch das gelten:
$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Stimmt so, oder?

zum Zweiten:
$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \supseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} y \in (f(A) \cup f(B)) \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt, dass es für alle $\begin{eqnarray*} x \in (A \cup B) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y \in (f(A) \cup f(B)) \end{eqnarray*}$ gibt, für das gilt $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ .
Aber jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Was kommt jetzt?

mfg

08.10.2008, 12:41

tmo

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Die erste Richtung ist richtig Freude

Zur zweiten: Du musst anders weitermachen. Daraus folgt erstmal nur $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \in f(B) \end{eqnarray*}$ .

Nun betrachtest du beide Fälle einzeln und zeigst, dass bei beiden $\begin{eqnarray*} y \in f(A \cup B) \end{eqnarray*}$ gilt.

08.10.2008, 12:43

Jacques

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RE: Abbildungen u. Mengen
Hallo,

Zitat:

Original von eierkopf1

"Es sei f eine Abbildung der Menge M in die Menge N und $\begin{eqnarray*} A, B \subseteq M \end{eqnarray*}$ . Man beweise:

$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) = f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ "

Meine Lösung:
Ich muss beide Richtungen beweisen $\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \supseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ :

Zum Ersten:
$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} y \in f(A \cup B) \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt, dass es ein $\begin{eqnarray*} x \in (A \cup B) \end{eqnarray*}$ gibt, für das gilt $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ .

[XXXXX]

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} x \in A \land f(x) \in f(A) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in B \land f(x) \in f(B) \end{eqnarray*}$ .

Daraus müsste auch das gelten:
$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Stimmt so, oder?

Ich würde nur einen kleinen Zwischenschritt bei [XXXXX] vorschlagen:

Es gibt also ein $\begin{eqnarray*} x \in f(A \cup B) \end{eqnarray*}$ , sodass gilt $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray*} x \in A \cup B \ \longleftrightarrow\ x \in A \ \vee\ x \in B \end{eqnarray*}$ . Angenommen, x ist Element von A, dann gilt $\begin{eqnarray*} f(x) = y \in f(A) \end{eqnarray*}$ , angenommen, x ist Element von B, dann gilt entsprechend $\begin{eqnarray*} f(x) = y \in f(B) \end{eqnarray*}$ .

Also in jedem Fall $\begin{eqnarray*} f(x) = y \in f(A) \ \vee\ f(x) = y \in B \ \longleftrightarrow\ f(x) = y \in f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

12.10.2008, 10:01

eierkopf1

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RE: Abbildungen u. Mengen
Danke für die Antworten und Tipps!

Ich versuche es jetzt nochmal das ganze Beispiel vorzurechnen, damit ich weiß, dass alles klar und verständlich ist:

Ich muss beide Richtungen beweisen $\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \supseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ :

1. Richtung:
$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \in f(A \cup B) \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt, dass es ein $\begin{eqnarray*} x \in (A \cup B) \end{eqnarray*}$ gibt, für das gilt $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ .

Für x gilt dann: $\begin{eqnarray*} x \in (A \cup B) \longleftrightarrow x \in A \lor x \in B \end{eqnarray*}$

Daraus folgen zwei Fälle:
1. Fall: $\begin{eqnarray*} x \in A \to f(x) = y \in f(A) \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} x \in B \to f(x) = y \in f(B) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass für jeden Fall gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x) = y \in f(A) \ \vee\ f(x) = y \in B \ \longleftrightarrow\ f(x) = y \in f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass auch das gelten muss und damit bewiesen ist:
$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

2. Richtung:
$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \supseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \in f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \lor f(B) \end{eqnarray*}$

Es gibt dadurch wieder zwei Fälle:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$
Es gibt ein $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ für das gilt $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} x \in A \to f(x) = y \in f(A) \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} y \in f(B) \end{eqnarray*}$
Es gibt ein $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ für das gilt $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} x \in B \to f(x) = y \in f(B) \end{eqnarray*}$

Dann weider beide Fälle zusammen:
$\begin{eqnarray*} x \in A \lor x \in B \to f(x) = y \in f(A) \lor y \in f(B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \longleftrightarrow x \in A \cup B \to f(x) = y \in f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \longleftrightarrow x \in A \cup B \to f(x) = y \in f(A \cup B) \end{eqnarray*}$

Damit muss auch das gelten:
$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \supseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Stimmt so, oder?

mfg

12.10.2008, 16:31

eierkopf1

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RE: Abbildungen u. Mengen
Weiß jemand, ob ich das so stehen lassen kann?

mfg

12.10.2008, 18:01

WebFritzi

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Nein, kannst du nicht. Der erste Schritt ist OK. Im zweiten Schritt beweist du rein gar nichts.

12.10.2008, 18:13

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

Du meinst, dass die erste Richtung OK ist und die zweite Richtung falsch ist bzw. nichts beweist, oder?

Wie mache ich das dann mit der zweiten Richtung?

mfg

12.10.2008, 21:39

eierkopf1

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Wie beweise ich die 2. Richtung?

mfg

12.10.2008, 22:07

Jacques

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Hallo,

Du brauchst nicht zu drängeln. unglücklich

Zum zweiten Beweis:

Ich würde die Idee zuerst mal in Worte fassen. Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} y \in f(A) \cup f(B) \rightarrow y \in f(A \cup B) \end{eqnarray*}$

Wenn y in f(A) U f(B) liegt, dann liegt es in f(A) oder f(B) [oder in beiden Mengen gleichzeitig].

Angenommen, y liegt in f(A). Dann liegt ein Urbild von y in A.

Und nimmt man an, dass y in f(B) liegt, dann liegt ein Urbild von y in B.

In jedem Fall ist also ein Urbild von y Element von A oder Element von B -- und damit ist das Urbild Element von A U B. Also muss auch y Element von f(A U B) sein.

Reicht das vielleicht schon als Anregung?

12.10.2008, 22:37

eierkopf1

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Danke sehr.

Damit sollte es gelöst sein Gott

Der "Trick" mit dem Urbild finde ich super. Denn werde ich sicher noch öfter brauchen smile

Jetzt habe ich aber ein weiteres Problem:

Angabe:
$\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C, D \subseteq A \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} f(C \cap D) \supseteq f(C) \cap f(D) \end{eqnarray*}$

Lösung:
Ich weiß, dass es nicht gilt. Da zB eine quadratische Funktion ein Gegenbeispiel ist.
Aber kann man das auch so wie das andere Beispiel beweisen?

Mein Versuch:
$\begin{eqnarray*} y \in f(C) \cap f(D) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} y \in f(C) \land y \in f(D) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) \in C \land f^{-1}(y) \in D \end{eqnarray*}$

Aber wie gehts weiter?

Irgendwie komme ich auf "wahre Aussage", obwohl es falsch ist. verwirrt

mfg

12.10.2008, 23:31

Jacques

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Zitat:

Original von eierkopf1

Der "Trick" mit dem Urbild finde ich super. Denn werde ich sicher noch öfter brauchen smile

Du musst aber daran denken, dass es nicht unbedingt genau ein Urbild gibt. Also man kann nicht von "dem" Urbild ausgehen.

Zitat:

Original von eierkopf1

Angabe:
$\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C, D \subseteq A \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} f(C \cap D) \supseteq f(C) \cap f(D) \end{eqnarray*}$

Lösung:
Ich weiß, dass es nicht gilt. Da zB eine quadratische Funktion ein Gegenbeispiel ist.

Genau, wobei Du natürlich noch zwei passende Mengen C und D angeben musst.

Zitat:

Original von eierkopf1

Aber kann man das auch so wie das andere Beispiel beweisen?

Mein Versuch:
$\begin{eqnarray*} y \in f(C) \cap f(D) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} y \in f(C) \land y \in f(D) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) \in C \land f^{-1}(y) \in D \end{eqnarray*}$

Aber wie gehts weiter?

Irgendwie komme ich auf "wahre Aussage", obwohl es falsch ist. verwirrt

Ja, Dein Fehler ist gerade, dass Du annimmst, es gebe das Urbild. Obwohl das gar nicht der Fall zu sein braucht.

Aus $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \wedge y \in f(B) \end{eqnarray*}$

kann man entsprechend nur folgern, dass ein Urbild von y in A liegt und eines in B. Aber das heißt noch lange nicht, dass es eines gibt, das sowohl in A als auch in B liegt.

// Wenn ich das richtig sehe: Die Injektivität ist gerade der entscheidende Punkt: Setzt man sie voraus, würde der Satz wirklich gelten. Also wäre Dein Beweis in Ordnung, wenn man tatsächlich voraussetzt, dass jedes Bild genau ein Urbild hat.

13.10.2008, 07:59

eierkopf1

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Zum ersten Mal: Vielen Dank für die Hilfe und die Mühe Mit Zunge

@Urbild oberes Beispiel:
Du hast zum oberen Beispiel geschrieben:
"Angenommen, y liegt in f(A). Dann liegt ein Urbild von y in A."

Aber sollte es nicht so heißen: Angenommen, y liegt in f(A). Dann ist ein Urbild von der Menge {y} Teilmenge von A.
$\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}( \{ y \} ) \subseteq A \end{eqnarray*}$

Für "y in f(B)" dasselbe.
Das, was du oben geschrieben hast, sollte doch nur gelten, wenn f injektiv ist, oder? verwirrt

Zum unteren Beispiel:

Das Gegenbeispiel ist mir klar und ich weiß auch ganz genau, wie ich es anschreiben muss. Eigentlich ist das Beispiel für die Uni damit gelöst. Nur mich würde es noch weiter interessieren, ob man sowas ohne Gegenbeispiel beweisen kann. verwirrt

Mein Versuch:
$\begin{eqnarray*} y \in f(C) \cap f(D) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} y \in f(C) \land y \in f(D) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt jetzt wirklich, dass es ein Urbild der Menge {y} gibt und nicht eine Umkehrfunktion sein muss:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}( \{ y \} ) \subseteq C \land f^{-1}( \{ y \} ) \subseteq D \end{eqnarray*}$

Jetzt das Problem: Wenn f nicht injektiv ist, dann gibt es die Möglichkeit, dass der Schnitt von zwei Urbildern leer ist.
Dh, es gibt zwei Möglichkeiten:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}( \{ y \} ) \subseteq C \land f^{-1}( \{ y \} ) \subseteq D = \emptyset \end{eqnarray*}$

Oder:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}( \{ y \} ) \subseteq C \land f^{-1}( \{ y \} ) \subseteq D \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Ich sollte jetzt die Möglichkeit, dass der Schnitt leer sein kann, weiterverfolgen, oder?
Nur wie mache ich das?

mfg

13.10.2008, 12:27

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eierkopf1

@Urbild oberes Beispiel:
Du hast zum oberen Beispiel geschrieben:
"Angenommen, y liegt in f(A). Dann liegt ein Urbild von y in A."

Aber sollte es nicht so heißen: Angenommen, y liegt in f(A). Dann ist ein Urbild von der Menge {y} Teilmenge von A.
$\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}( \{ y \} ) \subseteq A \end{eqnarray*}$

Für "y in f(B)" dasselbe.
Das, was du oben geschrieben hast, sollte doch nur gelten, wenn f injektiv ist, oder? verwirrt

Vielleicht erst zu den Bezeichnungen: Ich nenne b Bild von a und a Urbild von b, wenn f(a) = b.

Ich sage das deshalb, weil es wohl auch die Konvention gibt, die Menge f(A) = {f(x) | x in A} als Bild von A und die Menge f^(-1)(B) = {x | f(x) in B} als Urbild von B zu bezeichnen, und Du anscheinend diese Festlegung benutzt.

Um die Verwirrung in Zukunft zu vermeiden: Wenn f(a) = b gilt, dann heißt b (der) Funktionswert von a, und a heißt (eine) Stelle von b.

Zum Beweis: Nein, ich habe schon berücksichtigt, dass f nicht zwangsläufig injektiv ist. Deswegen habe ich eigentlich durchgehend von einer Stelle von y und nicht von der Stelle gesprochen.

Deine Aussage ist aber zu stark:

$\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}( \{ y \} ) \subseteq A \end{eqnarray*}$

Damit sagst Du aus, dass jede Stelle von y in A liegen muss. Das ist aber gar nicht unbedingt der Fall. Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f \colon\, \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} \quad x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

Sei A = {-3, -2} und B = {2, 3}

Es ist f(A) = {4, 9}. y soll in f(A) liegen, also gilt beispielsweise y = 9. Dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{ 9 \}) = \{ -3, 3 \} \end{eqnarray*}$

Aber 3 liegt gar nicht in A! Also folgt aus

$\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$

eben nicht

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{ y \}) \subseteq A \end{eqnarray*}$

Auf den Punkt gebracht: Bei nicht-injektiven Funktionen können ja auch solche Stellen auf ein $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, die gar nicht in A liegen.

Zitat:

Original von eierkopf1

Zum unteren Beispiel:

Das Gegenbeispiel ist mir klar und ich weiß auch ganz genau, wie ich es anschreiben muss. Eigentlich ist das Beispiel für die Uni damit gelöst. Nur mich würde es noch weiter interessieren, ob man sowas ohne Gegenbeispiel beweisen kann. verwirrt

Die Aussage ist wieder zu stark -- siehe oben. Du kannst nicht garantieren, dass wirklich alle Stellen von y in A liegen. Man weiß nur: Für mindestens eine Stelle gilt das.

Allgemein: Ich weiß nicht, ob man hier überhaupt so einfach abstrakt beweisen kann, dass es ein Gegenbeispiel gibt.

Augenzwinkern

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