Eigenvektoren einer 2x2 Matrix

12.07.2006, 17:20

rudelm

Eigenvektoren einer 2x2 Matrix

Hi zusammen!

Ich arbeite mich gerade für die Uni durch das Kapitel Matrizen durch und bin gerade bei den Eigenwerten und Eigenvektoren für 2x2 Matrizen angekommen.

Das Prinzip der Berechnung habe ich wohl verstanden, das ist ja quasi nur der Anleitung folgen.

Allerdings weichen die von mir berechneten Werte immer ab von denen in der Lösung. Ich arbeite mit dem Buch von Lothar Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2 und zitiere mal eben aus einer der Beispielaufgaben:

Also man hat die Eigenwerte gerade gefunden und setzt jetzt den ersten Eigenwert in die charakteristische Gleichung ein und erhält ein LGS das in ausführlicher Schreibweise so aussieht.

$\begin{eqnarray*} -x_1 - 5x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 + 5x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Dieses Gleichungssystem reduziert sich auf die eine Gleichung

$\begin{eqnarray*} x_1 + 5x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Eine der beiden Unbekannten ist somit frei wählbar. Wir entscheiden uns für
$\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und setzen daher
$\begin{eqnarray*} x_2 = alpha (alpha \in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$ . Die vom reellen Parameter alpha abhängige Lösung lautet dann
$\begin{eqnarray*} x_1 = -5alpha, x2= alpha \end{eqnarray*}$ . Der Lösungsvektor (Eigenvektor) lautet:

$\begin{eqnarray*} x_1= \begin{pmatrix} -5*alpha \\ alpha \end{pmatrix} = alpha * \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} (alpha \neq 0) \end{eqnarray*}$

Und genau in diesem letzten Abschnitt, wo man die Unbekannten frei wählen soll, wähle ich scheinbar immer anders herum.

Wer bestimmt, dass ich
$\begin{eqnarray*} x_2 = alpha \end{eqnarray*}$ wähle? Und wieso kann ich dort nicht
$\begin{eqnarray*} x_1 = alpha \end{eqnarray*}$ nehmen?

Die Werte in dem Eigenvektor sind dann vertauscht. Damit ändere ich doch den Wert oder die Richtung des Vektors. Das würde dann so aussehen, wenn ich $\begin{eqnarray*} x_1 = alpha \end{eqnarray*}$ gewählt hätte:

$\begin{eqnarray*} x_1= \begin{pmatrix} alpha \\ -\frac{1}{5}*alpha \end{pmatrix} = alpha * \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{5} \end{pmatrix} (alpha \neq 0) \end{eqnarray*}$

Wenn das ganze doch egal sein soll und die Unbekannten frei wählbar sein sollen, dürfte das also eigentlich keinen unterschied machen oder? Mein Matheprof ist da wohl etwas streng und sobald es wohl nicht exakt mit seiner Lösung übereinstimmt, ist die Aufgabe falsch.

Jetzt frage ich mich natürlich, was ich da machen soll und nach welcher Reihenfolge ich mich richten soll.

Ich hoffe, ihr habt nen kleinen Tipp oder ne Idee für mich über smile

Gruß
Markus

12.07.2006, 17:33

Bjoern1982

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Hi

Wenn du x1= alpha wählst ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} x_1=\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-\frac{1}{5} \alpha \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich dann ein zum obigen Eigenvektor kollinearer Eigenvektor.
Es ist also völlig egal, wie du dich bei deiner Parameterwahl entscheidest.
Beides ist absolut richtig.

Gruß Björn

12.07.2006, 17:46

rudelm

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Oh das stimmt, habe mich vertan bei dem zweiten vektor, nicht -5 *alpha sondern -1/5 alpha.

Gleich mal ändern smile

Hm mit dem Kollinear hast du recht, dein Eigenvektor ist jetzt also das 1/5 kürzer und in die andere Richtung dann oder? bzw. der andere 5 mal länger und in die andere Richtung als dein Vektor.

Das ist schon mal gut zu hören, dass es scheinbar egal ist, welchen Parameter ich da als erstes wähle. Jetzt muss ich nur noch mal genauer herausfinden, ob das meinem Prof wirklich so egal ist. Weil ich suche noch irgendwie nach nem System, mit dem er immer die Parameter wählt. Also man kann wohl nicht pauschalisieren, das er immer x1 = alpha oder x2. Das wechselt bei ihm immer.

Ich würde ja sagen, man macht das so, wie es gerade sich ergibt und möglichst positive ganze Zahlen ergibt. Also so, dass man sich am wenigsten Rechenarbeit halt macht.

12.07.2006, 18:14

Bjoern1982

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Zitat:

Ich würde ja sagen, man macht das so, wie es gerade sich ergibt und möglichst positive ganze Zahlen ergibt. Also so, dass man sich am wenigsten Rechenarbeit halt macht.

Genauso sehe ich das auch smile

12.07.2006, 19:42

Sly

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Das ist doch alles Jacke wie Hose

Es gibt nicht DEN Eigenvektor, den du bestimmen musst, sondern du bestimmst ja den Eigenraum, und das ist eben die Lösungsmenge deines homogenen LGS.
Wie du nun die Parameter wählst, ist völlig wurscht, da der Span ja gleich bleibt.

$\begin{eqnarray*} \langle \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle = \langle \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{5} \end{pmatrix} \rangle \end{eqnarray*}$

Ich bin mir absolut sicher dass dein Prof so akzeptiert, er wäre sonst ein Idiot der den Titel nicht verdient hätte. -.-

Ich hoffe, ich konnte helfen
MfG

13.07.2006, 10:12

rudelm

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Ok ich danke euch dann erst mal soweit. Ich habe gestern auch noch ein paar Übungsaufgaben gerechnet und komme jetzt auch auf die Ergebnisse im Buch.

Wird jetzt mal Zeit, dass ich bei 3*3 Matrizen und bei n*n Matrizen das mir angucke. Da sollte das ja ähnlich sein mit den Parametern und der Reihenfolge, die egal ist oder?

Zitat:

Ich bin mir absolut sicher dass dein Prof so akzeptiert, er wäre sonst ein Idiot der den Titel nicht verdient hätte. -.-

*g* könnte sogar fast zutreffen deine Beschreibung... er ist ziemlich eigen. Benutzt irgendwie seinen eigenen Gauß Algorithmus. Wer den nicht genauso benutzt, ebenfalls 0 Punkte.

Leute, die den Gauß Algorithmus anders gelernt hatten und damit die Aufgabe mit den korrekten Ergebnissen gelöst hatten, haben 0 Punkte für die Aufgabe bekommen. Begründung war wohl irgendwie kommen andere Eigenwerte und Vektoren raus oder so Hammer

Es ist jedenfalls ziemlich nervig mit dem aber man kommt ja nicht drum rum traurig

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