Vektoren -> lineare Unabhängigkeit

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Maddy Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren -> lineare Unabhängigkeit
Hallo smile

Also ich lern grad ein wenig Vektoren (mit nem Skript von der Hochschule), allerdings macht mir etwas probleme :-/

Die Aufgabe lautet: "Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig oder nicht?".

Von a - f geht das, allerdings denk ich das mir 2 Stück als Beispiele helfen würden ;-)

a) , ,

b), ,

Linear unabhängig sind sie doch wenn rauskommt, oder?

Also fang ich mal an mit a)

Zuerst stell ich ja ein LGS auf und löse es nach Gauß:







Hoffe es ist nachvollziehbar :-/ Benutze das Gauß Prinzip noch nicht so lang, aber finde eigentlich das es für mich das beste is da ich mit den anderen noch weniger klar komme :-/

Naja immerhin bekomme ich dann für , und

Stimmt das denn soweit? Bitte auch am besten mal das LGS genau anschauen, dass macht mir nämlich noch ziemliche Probleme ;-)

Da ich ja 0 rausbekomme heißt das ja jetzt das die Vektoren linear unabhängig sind, oder?

Danke
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren -> lineare Unabhängigkeit
Deine Frage kannst du dir selbst beantworten wenn du weißt:

Vektoren heißen linear unabhängig, wenn aus der Bedingung stets folgt, dass .

Richtig ist, dass die Vektoren aus der ersten Aufgabe l. unabhängig sind. Wenn du Gauß aufschreibst, wäre es nett, die Umformungsschritte mit zu notieren. Liest sich dann wesentlich schneller!

Freude
 
 
Maddy Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Also würde ich jetzt was ich ausgerechnet hab mit den Vektoren multiplizieren würde ja am schluss 0 rauskommen. Würde ich jetzt z. B. nicht 0 rausbekommen, sondern 1, dann wäre es also linear abhängig.

Also zu Gauß. Hab vom 1. zum 2. die 2. Reihe mit -1 multipliziert. Und vom 2. zum 3. die 2. Reihe mit 3 und die 3. mit -4.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst nichts mehr irgendwo einzusetzen. Wenn du weißt, dass deine Koeffizienten Null sind, hast du schon gezeigt, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Du hast recht, wenn da irgendwelche anderen Zahlen außer Null rauskommen, hat man eine Linearkombination gegeben.
Maddy Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke :-) Jetzt hab ich allerdings noch eine Frage :-) Für was muss ich überhaupt wissen ob ein Vektor linear Unabhängig ist oder nicht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Lineare Unabhängigkeit ist zum Beispiel eine notwendige Voraussetzung dafür, ob eine Familie von Vektoren eine Basis eines Vektorraums bildet.
Maddy Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm achso ok :-) Danke

Ich hab jetzt mal noch ein paar andere gerechnet, aber ich stell da nie eine lineare Abhängigkeit fest obwohl in der Lösung steht das es linear abhängig ist.

Ich hab das Gefühl das ich bei meinem LGS immer einen Fehler reinbaue und es daran liegt.

Die Aufgabe die ich gerade gemacht hab sieht so aus (recht ähnlich wie die erste):

, ,,



Ich habe die 2. Zeile mit -2 multipliziert.




Und jetzt die 3. mit -1.



Jetzt bekomme ich für jedes gamma wieder 0 raus :-/ Aber so hab ich dann doch keine Abhängigkeit wies die Lösung sagt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maddy
Ich habe die 2. Zeile mit -2 multipliziert.

Und anschließend hast du die erste Zeile zur zweiten addiert.

Zitat:
Original von Maddy
Und jetzt die 3. mit -1.

Und anschließend hast du die zweite Zeile zur dritten addiert.

Zitat:
Original von Maddy
Jetzt bekomme ich für jedes gamma wieder 0 raus :-/ Aber so hab ich dann doch keine Abhängigkeit wies die Lösung sagt.

Alle gamma Gleich Null ist eine mögliche Lösung. Es gibt aber noch beliebig viele weitere Lösungen. Setze beispielsweise gamma_3 = 3 und löse die Gleichungen sukzessive auf.
Maddy Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt mein LGS denn so? Würde nämlich gern wissen ob ichs endlich richtig mach Big Laugh

Also einfach davon ausgehen das gamma_3 = 3 ist und damit noch mal gamma_1 und 2 ausrechnen?

Für gamma_2 würde ich dann 4 und für gamma_1 = -2, doch was sagt mir das jetzt?

Bei allen meinen Rechnungen hab ich bis jetzt gamma_1-3 = 0 rausbekommen (kann aber vielleicht auch daran liegen das mein LGS falsch war).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maddy
Für gamma_2 würde ich dann 4 und für gamma_1 = -2, doch was sagt mir das jetzt?

Daß eben der Nullvektor außer mit gamma_1 = gamma_2 = gamma_3 = 0 (was ja trivialerweise immer geht) auch mit anderen gamma-Werten dargestellt werden kann. Daher sind die Vektoren linear abhängig.

Was dein LGS angeht, so stimmt es. Allerdings hast du wohl noch nicht verstanden, wie dieses aufzulösen ist. Wenn die Matrix in Zeilenstufenform ist, dann entsprechen die nicht frei wählbaren Variablen den Spalten zu den Elementen der Matrix, die jeweils das erste Nicht-Null-Element einer Zeile sind. Die 3. Spalte gehört nicht dazu. Also ist gamma_3 frei wählbar.
Maddy Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja ich weiß noch nicht wirklich wie ich das lösen soll. Mit LGS hab ich leider noch relativ viele Probleme, bzw. das wo ich kann ist viel zu viel Schreibarbeit und darum find ich das Gauß verfahren viel besser. Wir haben dazu nur ein Beispiel gemacht wo ich es problemlos verstanden hab, da waren die Zahlen aber auch sauberer und es war einfacher.

Ich hab mal in meinen Unterlagen nachgeschaut bezüglich dem aufstellen der Matrix. Irgendwie hab ich das Gefühl das die das irgendwie anders aufstellen.

z. B. sieht bei denen ein Vektor im LGS so aus:



Also das gamma_1 komplett der Vektor ist und gamma_2 und 3 unberührt bleibt, was mich teils auch verwirrt. Da ist es eben komplett anders aufgestellt, kann das denn auch sein?

Aber so wie ich es hab ist es richtig, hieß es ja zumindest.

Gruß
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun mal langsam. Im Grunde gibt es 2 Methoden.

Methode 1:
Wir betrachten das GLS:



Das führt zur Matrix:



Wie man das löst, ist oben im Prinzip schon geklärt.

Methode 2:
Man trägt die Vektoren als Zeilen in eine Matrix ein:

Dann bringt man das auf Zeilenstufenform. Bekommt man dabei mindestens eine Nullzeile, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Maddy Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok danke smile Dann behalte ich meine Version bei und brings auf Zeilenstufenform :-) Das hab ich jetzt einigermaßen verstanden smile
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