verallgemeinerter Durchschnitt und Vereinigung

08.10.2008, 22:34

verallgemeinerter Durchschnitt und Vereinigung

Hallo alle zusammen. Ich studiere Mathematik und hänge jetzt bei den Aussagen(Sätzen) zum algemeinen Durchschnitt und der allgemeinen Vereinigung.

Hierbei soll gelten:
"Es sei I eine nichtleere Menge und für jedes $\begin{eqnarray*} \forall\i \ \in \ I \end{eqnarray*}$ eine Menge $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ gegeben."

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i \in I}~M_i\ :=\{x\ |\ \forall\i \ \in \ I \ \colon \ x\ \in \ M_i \} \end{eqnarray*}$

Dabei verstehe ich diesen Abschnitt nicht:

$\begin{eqnarray*} \forall\i \ \in \ I \ \colon \ x\ \in \ M_i \end{eqnarray*}$

Ist hier mit $\begin{eqnarray*} \forall\i \ \in \ I \end{eqnarray*}$ eine Art Zählindex gemeint?
Das ich dann über diesen Index alle Mengen die $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ sind bekomme(eindeutig Identifizieren kann)?

Und dann bei der Vereinigung dann analog dazu?
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in I}~M_i\ :=\{x\ |\ \exists\i \ \in \ I \ \colon \ x\ \in \ _i\} \end{eqnarray*}$

Aber Warum dann hier einen Existenzialquantor, anstatt einen Allquantor?

Micha

08.10.2008, 22:38

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Es bedeutet das, was da steht: $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ soll in jeder der Mengen $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ enthalten sein.

Der Begriff "Zählindex" ist m.E. unglücklich: Unterschwellig suggeriert der sowas wie Abzählbarkeit von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ - die wird bei dieser allgemeinen Definition aber nicht zwingend gefordert.

EDIT: Bezieht sich natürlich auf den Durchschnitt.

08.10.2008, 23:01

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Ok wenn das mit dem Zählindex etwas falsches sugeriert, aber so meint es doch die Anzahl der Mengen $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ , wobei i hier der Index ist!!

Aber warum dann bei der Vereinigung einen Existenzialquantor? Was soll mir das sagen das ich beim Durchschnitt einen Allquantor habe und bei der Vereinigung einen Existenzialquantor?

Micha

08.10.2008, 23:16

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Vereinigung
Ok und bei der Vereinigung muss es heißen:
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\ \in \ I}~M_i:=\{x\ |\ \exists \ i\ \in \ I\colon \ x \ \in \ M_i\} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt ich kann mir nicht erklären Warum einmal Allquantor(Durchschnitt) und einmal Existenzialquantor(Vereinigung)!?

Kann mir bitte jemand den Unterschied erklären!! Also Warum das so ist?

EDIT: So bis morgen früh. Danke für eure Hilfe!

Micha

09.10.2008, 00:16

papahuhn

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RE: Vereinigung

Zitat:

Original von BC
Wie gesagt ich kann mir nicht erklären Warum einmal Allquantor(Durchschnitt) und einmal Existenzialquantor(Vereinigung)!?

Wenn beide Male der gleiche Quantor da stünde, würden Vereinigung und Durchschnitt das gleiche bedeuten, nicht wahr? Versuch mal in Worte zu fassen, was du als Vereinigung/Durchschnitt von Mengen verstehst. Vielleicht kommst du dann selbst darauf, warum die Quantoren da hinsollen.

09.10.2008, 00:24

Puchioholic

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RE: Vereinigung
Die Sache ist eigentlich ganz simpel.

Beim Durchschnitt muss das "x" ja in jeder Menge $\begin{eqnarray*} M_{i} \end{eqnarray*}$ enthalten sein. Also (angenommen I enthält die Natürlichen Zahlen, zur Veranschaulichung):
$\begin{eqnarray*} x \in M_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in M_{2} \end{eqnarray*}$ und ... usw.
Das rechtfertigt natürlich den Allquantor

Bei der Vereinigung genügt es ja, dass "x" in irgendeiner dieser $\begin{eqnarray*} M_{i} \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Deshalb der Existenzquantor.

Ich hoffe, das hilft dir ^^

09.10.2008, 07:41

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@Puchioholic

Ich glaube jetzt verstehe ich es.

@All
Also ist das was auf der rechten Seite steht nur die Definition der Menge dessen, was auf der linken Seite steht von $\begin{eqnarray*} \bigcap_{i\ \in \ I} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\ \in \ I} \end{eqnarray*}$ .
Der Operator ":=" gilt nur als Zuweisung der Eigenschaften der Menge.

Deswegen gilt dann ja wie "Puchioholic" gesagt hat:
- Durchschnitt: das x in jeder Menge enthalten sein muss.
- Vereinigung: das x mindestens in einer der Mengen enthalten ist.

Habe ich es jetzt richtig verstanden!?

Danke

09.10.2008, 08:14

Jacques

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Zitat:

Original von BC

@All
Also ist das was auf der rechten Seite steht nur die Definition der Menge dessen, was auf der linken Seite steht von $\begin{eqnarray*} \bigcap_{i\ \in \ I} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\ \in \ I} \end{eqnarray*}$ .
Der Operator ":=" gilt nur als Zuweisung der Eigenschaften der Menge.

Das $\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ bedeutet „ist definiert als“. Also der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i \in I}~M_i \end{eqnarray*}$

wird definiert als die Menge aller Objekte x, die Element jeder der „Mi-Mengen“ sind.

Zitat:

Original von BC

Deswegen gilt dann ja wie "Puchioholic" gesagt hat:
- Durchschnitt: das x in jeder Menge enthalten sein muss.
- Vereinigung: das x mindestens in einer der Mengen enthalten ist.

Habe ich es jetzt richtig verstanden!?

Ja, Du kannst Dir den „großen Durchschnitt“ so vorstellen:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i \in I} M_i = M_{i_1} \cap M_{i_2} \cap M_{i_3} \cap \ldots \end{eqnarray*}$

wobei mit i1, i2, i3, ... die gesamte Indexmenge I durchlaufen wird.

(das ist aber natürlich keine korrekte Schreibweise!)

Bei der Vereinigung entsprechend:

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in I} M_i = M_{i_1} \cup M_{i_2} \cup M_{i_3} \cup \ldots \end{eqnarray*}$

09.10.2008, 09:35

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Vielen Dank an alle.

Mit Zunge

An die schreibweise muss ich mir erst noch angewöhnen!
Wie gesagt ich hatte das alles als eins gesehen, anstatt die Definition des Operators für Durchschnitt oder Vereinigung durch den Mengenausdruck(Definition).

Tolles Forum.

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